دترمینان

وکیپیڈیا سے

ایک $2\times 2$ میٹرکس $A = \left[\begin{matrix}a & b \\c & d\end{matrix}\right]$ کا دترمینان یوں تعریف کیا جاتا ہے: $\ \det(A) = ad - bc$
انگریزی میں اسے determinant کہتے ہیں۔ دترمینان کے ہندسہ معنی کے لیے نیچے "مسلئہ اثباتی 4" دیکھو۔

فہرست

1 دترمینان
2 اور دیکھو

[ترمیم] دترمینان

ایک $3\times 3$ میٹرکس

$A = \left[\begin{matrix} a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} \\ a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} \end{matrix}\right]$

کا دترمینان یہ ہو گا

det(A) = a 0,0 a 1,1 a 2,2 + a 0,1 a 1,2 a 2,0 + a 0,2 a 1,0 a 2,1 - a 0,2 a 1,1 a 2,0 - a 0,1 a 1,0 a 2,2 - a 0,0 a 1,2 a 2,1

اسی طرح ایک $n\times n$ میٹرکس A کا دترمینان یوں لکھا جا سکتا ہے

$\det(A) = \sum \pm a_{0,k_0} a_{1,k_1} \cdots a_{n-1,k_{n-1}}$

جہاں $\{k_0, k_1, \cdots, k_{n-1} \}$ ایک تَبَدُّلِ کامل ہے، اعداد $\{0, 1, \cdots, n-1 \}$ کی، اس طرح کہ ایک رقم میں دو $\ a_{i,j}$ ایک قطار سے نہ ہوں، اور نہ ہی دو $\ a_{i,j}$ ایک ستون سے ہوں۔ غور کرو کہ یہاں $\ n!$ رقمیں جمع ہو رہی ہیں۔ ہر رقم مثبت یا منفی ہوتٰی ہے اس بنا پر کہ تَبَدُّلِ کامل کا نمبر جفت عدد ہے یا طاق عدد۔

(یہاں $\ n!$ سے مراد n کا عامَلیّہ ہے۔) یہ طریقہ دترمینان کی تعریف سمجھنے کے لیے ہے۔ عملی طور پر دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ ہم اب بتاتے ہیں:

[ترمیم] دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ

تعریف: ایک $n \times n$ میٹرکس A کا (i,j) والا چھوٹا ایسی $\ n-1 \times n-1$ میٹرکس $\ A_{i,j}$ کو کہتے ہیں جو $\ n \times n$ میٹرکس کی i ویں قطار اور j واں ستون کو ضائع کرنے سے بنائی جائے۔ انگریزی میں اسے minor کہتے ہیں۔ مثلاً میٹرکس $A = \left[\begin{matrix} a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} & a_{0,3}\\ a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,0} & a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{matrix}\right]$ کا (1,2) واں چھوٹا یوں لکھیں گے $A_{1,2} = \left[\begin{matrix} a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,3}\\ a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,3}\\ a_{3,0} & a_{3,1} & a_{3,3}\\ \end{matrix}\right]$

تعریف: میڑکس A کے چھوٹے $A i, j$ اور $2 \times 2$ میٹرکس کے دترمینان کو جانتے ہوئے ہم ایک $n \times n$ میٹرکس $A = \left[\begin{matrix} a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0,n-1}\\ a_{1,0} & a_{1,1} & \cdots & a_{1,n-1}\\ \vdots & \cdots & \ddots & \vdots\\ a_{n-1,0} & a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,n-1}\\ \end{matrix}\right]$
کا دترمینان یوں نکال سکتے ہیں (پہلے ستون کو استعمال کرتے ہوئے):
$\det(A) = a_{0,0} \det(A_{0,0}) - a_{1,0} \det(A_{1,0}) + \cdots + (-1)^{n} a_{n-1,0} \det(A_{n-1,0})$

[ترمیم] مسلئہ اثباتی 1

میٹرکس جن کا سائیز $n \times n$ ہو،

اگر میٹرکس A کی کسی قطار کو $α$ سے ضرب دے کر میٹرکس B حاصل کی جائے تو:

$\ \det(B) = \alpha \det(A)$

اگر میٹرکس A کی کوئی دو قطاروں کی جگہ آپس میں تبدیل کر کے میٹرکس B حاصل کی جائے تو:

$\ \det(B) = -\det(A)$

اگر میٹرکس A کی کسی قطار کو کسی عدد سے ضرب دے کر کسی دوسری قطار میں جمع کر دیا جائے، اور اس نئی میٹرکس کو B کہا جائے تو:

$\ \det(B) = \det(A)$

شناخت میٹرکس کا دترمینان ایک (1) ہوتا ہے:

$\ \det(I) = 1$

میٹرکس A کے اُلٹ کا دترمیناں

$\ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

میٹرکس A کے پلٹ کا دترمیناں

$\ \det(A^{t}) = \det(A)$

میٹرکس کو ایک سکیلر (عدد) سے ضرب دینے کے بعد کا دترمینان

$\ \det(\alpha A) = \alpha^n \det(A)$

[ترمیم] مسلئہ اثباتی 2

میٹرکس جن کا سائیز $n \times n$ ہو،

اگر کسی میٹرکس A کی کوئی قطار سب صفر ہو تو:

$\ \det(A) =0$

اگر کسی میٹرکس کی دو قطاریں برابر ہوں، تو:

$\ \det(A) =0$

[ترمیم] مسلئہ اثباتی 3

میٹرکس جن کا سائیز $n \times n$ ہو، تو میٹرکس ضرب کا دترمینان: $\ \det(AB) = \det(A) \det(B)$

[ترمیم] مسلئہ اثباتی 4

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب $f(X) = AX : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ، جہاں میٹرکس A کا سائیز $2 \times 2$ ہے، اور اس کا ہر جُز میدان $\mathbb{R}$ میں ہے ۔ یہ "میٹرکس فنکشن" علاقہE کو علاقہ ‭f(E)‬ میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے رقبہ کی ریشو میٹرکسA کےدترمینان کی مطلق (absolute) قیمت کے برابر ہو گی:

$\frac{\mathrm{Area \ of \ } f(E)}{\mathrm{Area \ of \ } E} = |\det(A)|$

(تصویر کے لیے دیکھو)

[ترمیم] مسلئہ اثباتی 5

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب $f(X) = AX : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ ، جہاں میٹرکس A کا سائیز $3 \times 3$ ہے، اور اس کا ہر جُز میدان $\mathbb{R}$ میں ہے۔ یہ "فنکشن" علاقہE کو علاقہ ‭f(E)‬ میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے حجم کی ریشو میٹرکسA کےدترمینان کی مطلق قیمت کے برابر ہو گی: $\frac{\mathrm{Volume \ of \ } f(E)}{\mathrm{Volume \ of \ } E} = |\det(A)|$

[ترمیم] اور دیکھو

سائیلیب help det

        اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ        ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D8%AF/%D8%AA/%D8%B1/%D8%AF%D8%AA%D8%B1%D9%85%DB%8C%D9%86%D8%A7%D9%86.html"

زمرہ جات: لکیری الجبرا | ریاضیات

دترمینان

وکیپیڈیا سے

فہرست

[ترمیم] دترمینان

[ترمیم] دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ

[ترمیم] مسلئہ اثباتی 1

[ترمیم] مسلئہ اثباتی 2

[ترمیم] مسلئہ اثباتی 3

[ترمیم] مسلئہ اثباتی 4

[ترمیم] مسلئہ اثباتی 5

[ترمیم] اور دیکھو

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں