Визначник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Визначник або детермінант — одна з найважливіших характеристик квадратних матриць. З точністю до знака, визначник матриці виражає коефіціент, на який множаться $n -$ мірні об'єми під дією цієї матриці. Матриця має обернену тоді і тільки тоді, коли її визначник відмінний від $0.$ Правило Крамера надає формули для розв'язання лінійної системи з $n$ невідомими і $n$ рівняннями за допомогою визначників.

Для $n\times n$ матриці визначник має вигляд полінома степені $n$ від елементів матриці, що уявляє собою суму добутків елементів матриці зі всіма можливими комбінаціями різних номерів рядків і стовпців, причому в кожному із добутків є рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця. Кожному добутку приписується знак плюс чи минус, в залежності віж парності перестановки номерів.

Якщо елементами матриці є числа, то визначник — також число. Взагалі, визначник може бути функціональним або належати якомусь комутативному кільцю, залежно від походження матриці.

Зміст

1 Визначення
- 1.1 Визначник матриці
- 1.2 Визначник матриці
2 Властивості визначників
3 Історія визначників
4 Спеціальні види визначників

[ред.] Визначення

Визначник $det(A)$ або $|A|\quad n\times n$ матриці $A$ задається формулою:

$\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix}$ $= \sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi) a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)} \ldots a_{n\pi(n)},$

де $π$ це перестановка множини $1,.., n,$ і $sgn(π)$ це знак (або парність) перестановки $π,$ тобто дорівнює $1$ чи $- 1$ залежно від того, чи число інверсій $π$ парне чи непарне. Зазначимо, що кількість доданків у сумі дорівнює $n!,$ і номери рядка і стовпця $n$ елементів матриці, що входять у один добуток, не повторюються. До того ж, добуток $a_{11}a_{22} \ldots a_{nn}$ елементів головної діагоналі матриці входить у суму з плюсом. Матриця називається виродженою або сінгулярною, якщо її визначник дорівнює нулю, а в іншому випадку невиродженою (несінгулярною).

Нижче подані наочні правила складання визначників для $2\times 2$ та $3\times 3$ матриць. Зауважимо, що для знаходження визначників більш високого порядку $n$ вистосовуються принципово інші методи (насамперед, метод Гауса), що вимагають значно меньшої кількості арифметичних операцій ( $O (n 3)$ натомість $n!$ ).

[ред.] Визначник $2\times 2$ матриці

Зображення:Det2x2.gif

Щоб знайти визначник $2\times 2$ матриці, множимо елементи головної діагоналі та віднімаємо добуток елементів побічної діагоналі:

$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}.$

На малюнку елементи, що входять до суми з плюсом, помічені червоним, а з мінусом — синім.

[ред.] Визначник $3\times 3$ матриці

Зображення:Det3x3.gif

Щоб знайти визначник $3\times 3$ матриці, будуємо шість добутків наступним чином:

$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}.$

На малюнку добутки, що входять в суму з плюсом, помічені червоним, а з мінусом — синім, кожній замкненій фігурі з трьох точок відповідає один добуток з трьох множників.

[ред.] Властивості визначників

$\det(AB) = \det(A)\det(B),\quad\det(A^T)=\det(A).$

Якщо у матриці поміняти місцями будь-які два рядки, то знак визначника зміниться на протилежний.
При додаванні до будь-якого рядка лінійної комбінації кількох інших рядків визначник не зміниться.
Якщо помножити якийсь рядок на константу $a,$ то визначник також помножиться на $a .$
У матриці з двома однаковими рядками або з нульовим рядком, визначник дорівнює нулю.
Квадратна матриця $A$ невироджена (тобто $\det A\ne 0$ ) тоді і тільки тоді, коли існує обернена матриця $A - 1 .$
Всі властивості визначників, що стосуються рядків, так само спроваджуються і для стовпців.
Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів на діагоналі.

В курсі лінійної алгебри доводиться, що перші три властивості майже характеризують визначник матриць з елементами у полі. А саме, якщо функція елементів матриці задовільняє 1,2,3, то така функція пропорціональна $det$ .

[ред.] Історія визначників

Одне із найповніших джерел по історії визначників (до початку 20 століття) — це чотирьохтомна хрестоматія The theory of determinants in the historical order of development by Thomas Muir, New York, Dover Publications, 1960. Див. [[1]]

[ред.] Спеціальні види визначників

Визначник Якобі (Якобіан)
Визначник Вронського (Вронськіан)
Визначник Вандермонда
Визначник Грама
Власне значення

$Сигма$

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Отримано з http://uk.wikipedia.org../../../%D0%B2/%D0%B8/%D0%B7/%D0%92%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA.html

Категорії: Незавершені статті з математики | Теорія матриць

Визначник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Визначення

[ред.] Визначник $2\times 2$ матриці

[ред.] Визначник $3\times 3$ матриці

[ред.] Властивості визначників

[ред.] Історія визначників

[ред.] Спеціальні види визначників

Views

Навігація

Участь

Пошук

Іншими мовами

Визначник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Визначення

[ред.] Визначник матриці

[ред.] Визначник матриці

[ред.] Властивості визначників

[ред.] Історія визначників

[ред.] Спеціальні види визначників

Views

Навігація

Участь

Пошук

Іншими мовами

[ред.] Визначник $2\times 2$ матриці

[ред.] Визначник $3\times 3$ матриці