行列式

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在線性代數，行列式是一個函數，其定義域為 $n \times n$ 的矩陣 $A$ ，值域為一個純量，寫作 $d e t (A)$ 。

[编辑] 垂直線記法

矩陣 A 的行列式有時也記作 |A|。絕對值和矩陣範數也使用這個記法，有可能和行列式的記法混淆。不過矩陣範數通常以雙垂直線來表示（如︰ $\|\cdot\|$ ），且可以使用下標。此外，矩陣的絕對值是沒有定義的。因此，行列式經常使用垂直線記法（例如︰克萊姆法則和minor）。例如，一個矩陣︰

$A = \begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{bmatrix}\,$

行列式 $d e t (A)$ 也寫作 $| A |$ ，或明確的寫作︰

$|A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}\,$

即矩陣的方括號以細長的垂直線取代。

[编辑] 計算方法

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma(i)}$

其中

σ

是排列的符號差。

$\det(A) = \sum_{j=1}^n A_{i,j} (-1)^{i+j} M_{i,j}$

M i, j

指

A

除去第

i

行第

j

列的矩陣的行列式。

: $\det \begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix} = ad - bc$
3×3的矩陣行列式為 $det(A) = a 1,1 a 2,2 a 3,3 + a 1,3 a 2,1 a 3,2 + a 1,2 a 2,3 a 3,1 - a 1,3 a 2,2 a 3,1 - a 1,1 a 2,3 a 3,2 - a 1,2 a 2,1 a 3,3$ 。

[编辑] 應用

求特徵值：若多項式 $p (x) = det(x I - A)$ ，特徵值就是多項式的解。
多變元微積分的代換積分法（參見雅可比矩陣）
在 $n$ 個 $n$ 維實向量所組成的平行多面體的體積，是這些實向量的所組成的矩陣的行列式的絕對值。以此推廣，若線性變換 $f: \Bbb{R}^n \rightarrow \Bbb{R}^m$ 可用 $m \times n$ 矩陣 $A$ 表示， $S$ 是 $R n$ 的可測集，則 $f (S)$ 的體積是 $S$ 的體積的 $\sqrt{\det(A ^T A)}$ 倍。
Wronskian行列式

[编辑] 定義

將矩陣的每一行寫成 $a_{1},\ldots,a_{n}$ 。設 $M n (K)$ 為所有定義在 $K$ 上的 $n\times n$ 矩陣的集。

存在一且唯一一個函數 $D:M_n(K) \to K$ 使得：

$D(a_{1},\ldots,c a_{i} + a_{i}',\ldots,a_{n}) = c D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{n}) + D(a_{1},\ldots,a_{i}',\ldots,a_{n})$ （多重線性）
$D(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}) = - D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{n}) + D(a_{2},a_{1},\ldots,a_{n})$ （交替性）
$D (I) = 1$

[编辑] 行列式的性質

在行列式中，一行（列）元素全為0，則此行列式的值為0。

$\begin{vmatrix} {\color{blue}0} & {\color{blue}0} & \dots & {\color{blue}0} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = 0$

在行列式中，某一行（列）有公因子k，則可以提出k。

$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ {\color{blue}k}a_{i1} & {\color{blue}k}a_{i2} & \dots & {\color{blue}k}a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} ={\color{blue}k}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} ={\color{blue}k}D_1$

在行列式中，某一行（列）的每個元素是兩數之和，則此行列式可拆分為兩個相加的行列式。

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ {\color{blue}a_{i1}}+{\color{OliveGreen}b_{i1}} & {\color{blue}a_{i2}}+{\color{OliveGreen}b_{i2}} & \dots & {\color{blue}a_{in}}+{\color{OliveGreen}b_{in}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ {\color{blue}a_{i1}} & {\color{blue}a_{i2}} & \dots & {\color{blue}a_{in}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ {\color{OliveGreen}b_{i1}} & {\color{OliveGreen}b_{i2}} & \dots & {\color{OliveGreen}b_{in}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$

行列式中的兩行（列）互換，改變行列式正負符號。

$\begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {\color{blue}a_{i1}} & {\color{blue}a_{i2}} & \dots & {\color{blue}a_{in}} \\ {\color{OliveGreen}a_{j1}} & {\color{OliveGreen}a_{j2}} & \dots & {\color{OliveGreen}a_{jn}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {\color{OliveGreen}a_{j1}} & {\color{OliveGreen}a_{j2}} & \dots & {\color{OliveGreen}a_{jn}} \\ {\color{blue}a_{i1}} & {\color{blue}a_{i2}} & \dots & {\color{blue}a_{in}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix}$

在行列式中，有兩行（列）對應成比例或相同，則此行列式的值為0。

$\begin{vmatrix} {\color{blue}2} & {\color{blue}2} & \dots & {\color{blue}2} \\ {\color{blue}8} & {\color{blue}8} & \dots & {\color{blue}8} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = 0$

將一行（列）的k倍加進另一行（列）裡，行列式的值不變。

$\begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ a_{j1}{\color{blue}+ka_{i1}} & a_{j2}{\color{blue}+ka_{i2}} & \dots & a_{jn}{\color{blue}+ka_{in}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix}$

注意︰一行（列）的k倍加上另一行（列），行列式的值改變。

$\begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix} {\color{red}\ne}\begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ {\color{red}k}a_{j1}{\color{red}+a_{i1}} & {\color{red}k}a_{j2}{\color{red}+a_{i2}} & \dots & {\color{red}k}a_{jn}{\color{red}+a_{in}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix}$

將行列式的行列互換，行列式的值不變。其中，行列互換相當於轉置，記作 $D T = D$ 。

$D=\begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{ji} \end{vmatrix} =D^{\textrm{T}}$

例如

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$