Sucesión de Cauchy
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En análisis matemático, una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que la distancia entre dos términos se va reduciendo a medida que se avanza en la sucesión. Se llama así en honor al matemático francés Augustin Louis Cauchy. Su interés radica en que se puede verificar que una sucesión es de Cauchy sin conocer el punto de convergencia.
Formalmente, en un espacio métrico, una sucesión {xk} se dice de Cauchy si para todo 
existe un N en los naturales, tal que para todos n,m > N se verifica que la distancia entre dos términos d(xn,xm) es inferior a 
.
Es fácil demostrar que toda sucesión convergente es de Cauchy, sin embargo no toda sucesión de Cauchy es convergente. Por ejemplo, en (0,2), la sucesión 
es de Cauchy pero no es convergente, pues su limite es cero y éste no está en el espacio donde definimos la sucesión. Cuando en un espacio toda sucesión de Cauchy converge se dice que el espacio es completo.
Al parecer de lo trivial del ejemplo anterior donde la sucesión de Cauchy no convergía, en espacios más abstractos pero no por eso menos familiares, como los espacios de funciones, demostrar la completitud a veces no es tan trivial; una de las razones de esto es que la completitud no se preserva necesariamente con homeomorfismos como pasa con la conexidad y la compacidad.
