Cauchyovská posloupnost
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru, jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je zároveň cauchyovská. Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu počítat.
[editovat] Definice
V metrickém prostoru M s metrikou d je posloupnost 
cauchyovská, pokud 
Každá konvergentní posloupnost metrického prostoru je cauchyovská.
Naopak metrický prostor, v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, se nazývá úplný.
[editovat] Příklady
- Posloupnost racionálních čísel (1 + 1 / n)n je cauchyovská, ale její limita je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.
- V prostoru reálných čísel má pro každou posloupnost an množina všech jejích členů supremum. V případě, že an je cauchyovská, je toto supremum její limitou. Prostor reálných čísel je tedy úplný.
