Фундаментальная последовательность
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Последовательность точек метрического пространства с метрикой ρ называется фундаментальной или последовательностью Коши, если она удовлетворяет критерию Коши:
|
Для любого
|
существует такое 
, что
для всех 
.или
Любая сходящаяся последовательность является фундаментальной (условие Коши). Обратное верно только для полных пространств, в частности для вещественных чисел.
[править] Доказательства
[править] Критерий Коши
Пусть некая последовательность {xn} удовлетворяет критерию Коши. Тогда она, очевидно, ограничена. Следовательно, по теореме Больцано — Вейерштрасса у неё существует предельная точка. Чтобы доказать существование (конечного) предела, необходимо доказать единственность предельной точки. Пусть их существует две - a1 и a2. Тогда возьмём 
= (1/3) * |a1 - a2|. Начиная с некоторого n, все элементы последовательности должны будут находиться в одной из -окрестностей предельных точек (каждая точка при n>N будет находиться либо в одной, либо в другой окрестности), а значит, на расстоянии больше чем друг от друга, что противоречит критерию Коши.
[править] Условие Коши
Пусть теперь, наоборот, последовательность сходится. Тогда, начиная с некоторого N, (|xn| - a) < и (|xm| - a) < , а стало быть, |xm - xn| <= |(xm - a) - (xn - a)| <= |(xm - a)| - |(xn - a)| < 2, а значит, последовательность по определению фундаментальна.
