傅里叶变换

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傅里叶变换（Transformée de Fourier）是一种积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

[编辑] 中文译名

Transformée de Fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、「傅利葉轉換」、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。

[编辑] 应用

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。

[编辑] 概要介绍

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的^[1]。

傅里叶变换属于諧波分析。

傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;

正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;

卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;

离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).

[编辑] 基本性质

[编辑] 线性性质

两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数 $f \left( x\right )$ 和 $g \left(x \right)$ 的傅里叶变换 $\mathcal{F}[f]$ 和 $\mathcal{F}[g]$ 都存在， $α$ 和 $β$ 为任意常系数，则 $\mathcal{F}[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal{F}[f]+\beta\mathcal{F}[g]$ ；傅里叶变换算符 $\mathcal{F}$ 可经归一化成为么正算符；

[编辑] 频移性质

若函数 $f \left( x\right )$ 存在傅里叶变换，则对任意实数 $ω 0$ ，函数 $f(x) e^{i \omega_{0} x}$ 也存在傅里叶变换，且有 $\mathcal{F}[f(x)e^{i \omega_{0} x}]=F(\omega + \omega _0 )$ 。式中花体 $\mathcal{F}$ 是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位 $\sqrt{-1}$ ；

[编辑] 微分关系

若函数 $f \left( x\right )$ 当 $|x|\rightarrow\infty$ 时的极限为0，而其导函数 $f'(x)$ 的傅里叶变换存在，则有 $\mathcal{F}[f'(x)]=-i \omega \mathcal{F}[f(x)]$ ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 $- i ω$ 。更一般地，若 $f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0$ ，且 $\mathcal{F}[f^{(k)}(x)]$ 存在，则 $\mathcal{F}[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^{k} \mathcal{F}[f]$ ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 $( - i ω) k$ 。

[编辑] 卷积特性

若函数 $f \left( x\right )$ 及 $g \left( x\right )$ 都在 $(-\infty,+\infty)$ 上绝对可积，则卷积函数 $f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi$ 的傅里叶变换存在，且 $\mathcal{F}[f*g]=\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]$ 。卷积性质的逆形式为 $\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]*\mathcal{F}^{-1}[G(\omega)]$ ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。

[编辑] Parseval定理

若函数 $f \left( x\right )$ 可积且平方可积，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^{2}d\omega$ 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。

[编辑] 傅里叶变换的不同变种

[编辑] 连续傅里叶变换

主条目：连续傅立叶变换

一般情况下,若「傅立叶变换」一词的前面未加任何限定語，則指的是「连续傅里叶变换」。「连续傅里叶变换」将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。

$f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.$

上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。

一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。

当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为餘弦轉換(cosine transform) 或正弦轉換(sine transform).

另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)^*成立.

[编辑] 傅里叶级数

主条目：傅立叶级数

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,$

其中 $F n$ 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：

$f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],$

其中a_n和b_n是实频率分量的振幅。

[编辑] 离散时间傅里叶变换

主条目：离散时间傅里叶变换

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆轉換。

[编辑] 离散傅里叶变换

主条目：离散傅里叶变换

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数x_n 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数 x_n 表示为下面的求和形式：

$x_n = \frac1{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{i\frac{2\pi}{N} kn} \qquad n = 0,\dots,N-1$

其中 $X k$ 是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为 $\mathcal{O}(n^2)$ ，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为 $\mathcal{O}(n \log n)$ 。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

[编辑] 在阿贝尔群上的统一描述

以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。

[编辑] 时频分析变换

主条目：时频分析变换

小波变换，chirplet轉換和分數傅利葉轉換试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。

[编辑] 傅里叶变换家族

下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.

變換	時間	頻率
連續傅利葉變換	連續, 非週期性	連續, 非週期性
傅里叶级数	連續, 週期性	離散, 非週期性
离散时间傅里叶变换	離散, 非週期性	連續, 週期性
离散傅里叶变换	離散, 週期性	離散, 週期性

[编辑] 常用傅里叶变换表

下表列出常用的傅里叶变换对。 $G$ 和 $H$ 分别代表函数 $g (t)$ 和 $h (t)$ 的傅里叶变换. $g$ 和 $h$ 可以使可积函数或衰减的分布。

[编辑] 函数关系

	时域信号l	角频率表示的傅里叶变换	弧频率表示的傅里叶变换	注释
	$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,$	$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,$	$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,$
1	$a\cdot g(t) + b\cdot h(t)\,$	$a\cdot G(\omega) + b\cdot H(\omega)\,$	$a\cdot G(f) + b\cdot H(f)\,$	线性性
2	$g(t - a)\,$	$e^{- i a \omega} G(\omega)\,$	$e^{- i 2\pi a f} G(f)\,$	时域平移
3	$e^{ iat} g(t)\,$	$G(\omega - a)\,$	$G \left(f - \frac{a}{2\pi}\right)\,$	频域平移, 变换2的频域对应
4	$g(a t)\,$	$\frac{1}{\|a\|} G \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$	$\frac{1}{\|a\|} G \left( \frac{f}{a} \right)\,$	如果 $\|a\|\,$ 值较大，则 $g(a t)\,$ 会收缩到原点附近，而 $\frac{1}{\|a\|}G \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$ 会扩散并变得扁平. 当 $\| a \|$ 趋向无穷时，成为 Delta函数。
5	$G(t)\,$	$g(-\omega)\,$	$g(-f)\,$	傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量 $t \,$ 和频域变量 $\omega \,$ 得到.
6	$\frac{d^n g(t)}{dt^n}\,$	$(i\omega)^n G(\omega)\,$	$(i 2\pi f)^n G(f)\,$	傅里叶变换的微分性质
7	$t^n g(t)\,$	$i^n \frac{d^n G(\omega)}{d\omega^n}\,$	$\left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n G(f)}{df^n}\,$	变换6的频域对应
8	$(g * h)(t)\,$	$\sqrt{2\pi} G(\omega) H(\omega)\,$	$G(f) H(f)\,$	$g * h\,$ 表示 $g\,$ 和 $h\,$ 的卷积 — 这就是卷积定理
9	$g(t) h(t)\,$	$(G * H)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\,$	$(G * H)(f)\,$	变换8的频域对应。

[编辑] 平方可积函数

	时域信号l	角频率表示的傅里叶变换	弧频率表示的傅里叶变换	注释
	$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,$	$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,$	$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,$
10	$\mathrm{rect}(a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{f}{a}\right)$	矩形脉冲和归一化的sinc函数
11	$\mathrm{sinc}(a t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{f}{a} \right)\,$	变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对non-casaul冲击的响应。
12	$\mathrm{sinc}^2 (a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{f}{a} \right)$	tri 是三角形函数
13	$\mathrm{tri} (a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{f}{a} \right) \,$	变换12的频域对应
14	$e^{-\alpha t^2}\,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}$	$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{\alpha}}$	高斯函数 $exp( - α t 2)$ 的傅里叶变换是他本身. 只有当 $Re(α) > 0$ 时，这是可积的。
15	$e^{iat^2} = \left. e^{-\alpha t^2}\right\|_{\alpha = -i a} \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\omega^2}{4 a} -\frac{\pi}{4}\right)}$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\pi^2 f^2}{a} -\frac{\pi}{4}\right)}$	光学领域应用较多
16	$\cos ( a t^2 ) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$
17	$\sin ( a t^2 ) \,$	$\frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$	$- \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$
18	$\mathrm{e}^{-a\|t\|} \,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}$	$\frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 f^2}$	a>0
19	$\frac{1}{\sqrt{\|t\|}} \,$	$\frac{1}{\sqrt{\|\omega\|}}$	$\frac{1}{\sqrt{\|f\|}}$	变换本身就是一个公式
20	$J_0 (t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$	$\frac{2\cdot \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}}$	J₀(t) 是0阶第一类贝塞尔函数。
21	$J_n (t) \,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$	$\frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi f) \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}}$	上一个变换的推广形式; T_n (t) 是第一类切比雪夫多项式。
22	$\frac{J_n (t)}{t} \,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)$	$\frac{2 \mathrm{i}}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi f)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2} \mathrm{rect} ( \pi f )$	U_n (t)是第二类切比雪夫多项式。

[编辑] 分布

	时域信号l	角频率表示的傅里叶变换	弧频率表示的傅里叶变换	注释
	$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,$	$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,$	$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,$
23	$1\,$	$\sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)\,$	$\delta(f)\,$	$δ(ω)$ 代表 Dirac delta 分布. 这个变换展示了Dirac delta的重要性: 他是常函数的傅立叶变换
24	$\delta(t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$	$1\,$	变换23的频域对应
25	$e^{i a t}\,$	$\sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)\,$	$\delta(f - \frac{a}{2\pi})\,$	由变换3 和 24得到.
26	$\cos (a t)\,$	$\sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2}\,$	$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}\,$	由变换 1 和 25得到，应用了欧拉公式: $cos(a t) = (e i a t + e - i a t) / 2.$
27	$\sin( at)\,$	$\sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i}\,$	$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}\,$	由变换 1 和 25得到
28	$t^n\,$	$i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,$	$\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)\,$	这里, $n$ 是一个自然数. $δ n (ω)$ 是Dirac delta分布的 $n$ 阶微分. This rule follows from rules 7 and 24. Combining this rule with 1, we can transform all polynomials.
29	$\frac{1}{t}\,$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,$	$-i\pi\cdot \sgn(f)\,$	Here $sgn(ω)$ is the sign function; note that this is consistent with rules 7 and 24.
30	$\frac{1}{t^n}\,$	$-i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(\omega)\,$	$-i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(f)\,$	变换29的推广.
31	$\sgn(t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega }\,$	$\frac{1}{i\pi f}\,$	变换29的频域对应
32	$u(t) \,$	$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)\,$	$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right)\,$	Here $u (t)$ is the Heaviside unit step function; this follows from rules 1 and 31.
33	$e^{- a t} u(t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}$	$\frac{1}{a + i 2 \pi f}$	$u (t)$ is the Heaviside unit step function and $a > 0$ .
34	$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \,$	$\begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right)\,$	$\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) \,$	The Dirac comb — helpful for explaining or understanding the transition from continuous to discrete time.

[编辑] 参见

[编辑] 注释

↑ 林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974

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