Número pi

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

O número pi (π) é a relación entre a lonxitude da circunferencia e o diámetro da mesma (nunha xeometría euclídea). A cuantificación numérica do número π cun número crecente de decimais foi marcando fitos na historia do cálculo numérico.

Os primeiros axustes deste valor datan dos gregos, pero dado o seu valor irracional agora coñécese cunha aproximación actual máis exacta, aproximadamente 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 5 (con 31 cifras decimais; con 64 cifras decimais, 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923).

En debuxo técnico, o seu valor pode avaliarse con menor exactitude para o cálculo gráfico e normalmente tómase coma referencia o valor racional de 22/7 (=3,1428). Para uso de xeito sinxelo tómase 3,14 ou 3,1416.

[editar] Definicións

En xeometría plana, π pódese definir como a relación da circunferencia co seu diámetro.
Tamén se define π analíticamente usando funcións trigonométricas, como exemplos:
- como o menor positivo x para o cal sen(x) = 0,
- como o duplo do menor positivo x para o cal cos(x) = 0.

[editar] Fórmulas que conteñen π

[editar] Probabilidade

A probabilidade de que dous enteiros positivos escollidos ó chou sexan primos entre si é: 6/π²
Se se elixen ó chou dous números positivos menores que 1, a probabilidade de que xunto co número 1 podan ser os lados dun triángulo obtusángulo é: (π-2)/4
Agulla de Buffon: Se lanzamos, ó chou, unha agulla de lonxitude L sobre unha superficie na que hai debuxadas liñas paralelas separadas unha distancia D, a probabilidade de que a agulla corte unha liña é: Lπ/2D

[editar] Xeometría

Ángulos: 180 graos son equivalentes a π radiáns

Forma xeométrica	Formula
Circunferencia do circo de radio r e diámetro d	$C = \pi d = 2 \pi r \,\!$
Area of circo de radio r	$A = \pi r^2 \,\!$
Area da elipse con semi-eixos a e mais b	$A = \pi a b \,\!$
Volume da esfera de radio r	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!$
Superficie da esfera de radio r	$A = 4 \pi r^2 \,\!$
Volume do cilindro de altura h e radio r	$V = \pi r^2 h \,\!$
Superficie do cilindro de altura h e radio r	$A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
Volume do cono de altura h e radio r	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
Superficie do cono de altura h e radio r	$A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

Ademais, o ángulo 180° en grados equival a π radians (unha volta enteira, 360 graos, son equivalentes a 2π radiáns).

[editar] Análise

Moitas fórmulas de análise matemática conteñen π, incluindo series infinitas, integrais, e as chamadas funcións especiais.

François Viète, 1593 (Proba de Viète):

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots$

formula de Leibniz:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

Esta serie infinita, citada a miudo, escrébese como se indica arriba, pero exprésase mais técnicamente como:

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right ) = \frac{\pi}{4}$

producto de Wallis (ver este artigo para a proba):

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$