Pi (tal)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Du har nye beskeder (forskel fra næstsidste redigering).

Talsystemer i matematik .
Elementære talmængder
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$
Naturlige tal	$\mathbb{N}$ = { 1,2,3,...}
Heltal	$\mathbb{Z}$ = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Rationale tal	$\mathbb{Q}$ = { 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/2, -2/2, 1/3, -1/3, ...}
Reelle tal	$\mathbb{R}$ = $\{\sqrt{2}, e , \pi,\ldots\}$
Komplekse tal	$\mathbb{C}$ = $\{a+bi \mid a,b\in \mathbb{R}\}$
Andre elementære talmængder
Primtal	$\mathbb{P}$ = { 2,3,5,7,11,.. }
Irrationale tal	$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$
Konstruerbare tal
Algebraiske tal
Transcendente tal	$\mathbb{T}\mathrm{r}$
Beregnelige tal
Imaginære tal
Split-komplekse tal	R^1,1
Komplekse udvidelser
Bikomplekse tal
Hyperkomplekse tal
Kvaternioner	$\mathbb{H}$ = { a+bi+cj+dk \| a,b,c,d ∈ R }
Oktonioner
Sedenioner
Superreelle tal
Hyperreelle tal
Surreelle tal
Taltyper og særlige tal
Nominelle tal
Ordinaltal	{} størrelse, position {n}
Kardinaltal	{ $\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots$ }
P-adiske tal
Heltalsfølger
Matematiske konstanter
Store tal
Uendelig ∞
Konstantliste
π - i - e - φ - γ

Tallet pi (også kaldet Arkimedes' konstant) er en matematisk konstant, der skrives med det græske bogstav π. Konstanten optræder mange steder inden for blandt andet matematik og fysik. π er defineret som forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter. Man kan også definere π som arealet af en cirkel med radius 1, eller som det mindste positive tal x for hvilket der gælder at sinus til x er lig med 0.

Sammenhængen mellem cirklens diameter (her 1), og dens omkreds.

π er et irrationalt tal, så decimalerne udgør ikke en cyklisk følge. Endda er π et transcendent tal, dvs. π er ikke rod i noget polynomium med rationale koefficienter. I mange sammenhænge er 3,14 en tilstrækkelig god tilnærmelse. Foretrækker man en brøk, er 22/7 (Archimedes) eller endnu bedre 355/113 (Zu) fremragende approksimationer.

Her er π med 63 decimaler:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592...

Der er flere måder, hvorpå man tilnærmet kan beregne pi. Her er to eksempler på rækker der konvergerer imod pi

$\pi = 4 \cdot \sum_{n=1}^\infty \left(-1\right) ^{n+1} \cdot \frac{1}{2n-1} = 4 \cdot \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11} ... \right)$

eller

$\pi = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin\left(\frac{180}{n}\right) \cdot n + \tan\left(\frac{180}{n}\right) \cdot n}{2}$ .

[redigér] Huskeregel

De første 13 decimale cifre af π kan huskes som længden af ordene i følgende remse: Ser I ikke I tåber hvorledes en simpel remse kan klare Cirklens kvadratur?^[1]

π bruges i mange hukommelseskonkurrencer. Her er formålet at huske flest decimaler af tallet π. Japaneren Hiroyuki Goto kunne i 1995 genkalde første 42.195 decimaler af π. (Det tog ham ca. 17 timer.) Englænderen Daniel Tammet genkaldte de første 22.514 decimaler af π. Det tog ham lidt over 5 timer. I 2006 blev en japansk psykiater den første til at remse π op med 100.000 decimaler. Dette tog ham over 16 timer, og blev optaget på bånd, og indsendt til Guinness Book of Records, så de kan godkende det som en ny rekord.
Det er kun officielt lykkes 14 mennesker i verden at gengive over 10 000 cifre^[2].