פליטת גוף שחור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פליטת גוף שחור באורכי הגל השונים.

גוף שחור הינו גוף שבולע באופן מושלם קרינה אלקטרומגנטית בכל אורכי הגל. כלומר, כל קרינה אלקטרומגנטית הפוגעת בגוף איננה עוברת דרכו או מוחזרת ממנו אלא נבלעת בו ונפלטת באורכי גל שונים על פי נוסחת פלאנק. גוף שחור פולט באותה התפלגות גם אנרגיית חום שמתקבלת אליו. גוף שחור אידאלי אינו קיים במציאות אבל קירובים שלו בדרגות שונות קיימים ומשמשים לחישובים שונים.

חשיבותה של בעיה זו בא בעיקר מפתרונו של מקס פלאנק לפרדוקס פיזיקלי שנבע מתיאור הבעיה וניתוחה בכלים של הפיזיקה הקלאסית. פתרונו של פלנק היה מבין האבות של מכניקת הקוונטים (יחד עם האפקט הפוטואלקטרי של אלברט איינשטיין ומודל אטום המימן של נילס בוהר).

תוכן עניינים

1 החיפוש אחר מודל מתמטי של קרינת גוף שחור
2 התפלגות פלאנק
3 חוק סטפן בולצמן
4 חוק ההזזה של וויין
5 גוף אפור
6 ראו גם

[עריכה] החיפוש אחר מודל מתמטי של קרינת גוף שחור

בתחילה לא היה ידוע מה גורם לפליטת הקרינה באורכי הגל השונים ופותחה נוסחה באופן אמפירי המתארת את הפליטה לפי אורכי הגל השונים. נוסחה זו ניקראת נוסחת ריילי ג'ינס על שם מפתחיה:

$I(\lambda) = \frac{k T}{\pi ^2} \frac{1}{\lambda ^2}$

אם נבצע אינטגרל על משוואה זו מאפס עד אינסוף נקבל את סך כל הפליטה באורכי הגל השונים ונראה שהיא אינסופית, דבר שאינו מתאים עם חוק שימור האנרגיה. אי התאמה זו בין החישובים למציאות מכונה "הקטסטרופה של האולטרה סגול" (מכיוון שהנוסחה כן מתאימה לאורכי הגל שבאורך גל ארוך יותר מהאור האולטרה סגול).

כתוצאה מ"קטסטרופה" זו החליטו להגביל נוסחה זו לתחום אורכי הגל הארוכים ונמצאה נוסחה חדשה לאורכי הגל הקצרים בשם נוסחת וויין (גם היא באופן אמפירי).

לבסוף אוחדו שתי הנוסחאות על ידי מקס פלאנק למשוואת פלאנק:

$I(\nu,T) =\frac{2h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}$

במהלך פיתוח נוסחה זו הניח פלאנק כי האנרגיה הנפלטת מגוף שחור ניפלטת במנות בדידות של אנרגיה (קוואנטים של אנרגיה):

$\ E= nh\nu$

כאשר $\ h$ הוא קבוע פלאנק, $\ \nu$ היא תדירות הקרינה ו- $\ n$ הוא מספר טבעי. כלומר, מנות האנרגיה הן כפולות של מנה בסיסית, שתלויה רק בתדירות.

הנחה זו הינה אחת ההנחות הבסיסיות שהביאו לפיתוח תאוריית הקוואנטים.

[עריכה] התפלגות פלאנק

התפלגות הקרינה של גוף שחור לפי פלאנק היא עקומה המתארת את עוצמת הקרינה (או צפיפות האנרגיה) האופיינית לכל אורך גל או תדירות מסוימת. הגרף המתאר את תלות עוצמת הקרינה בתדירות נקרא "ספקטרום קרינה של גוף שחור".

התפלגות צפיפות האנרגיה $\ u = U/V$ של הקרינה ליחידת תדירות נתונה על ידי

$\ u_f = \frac{ 8 \pi f^2}{c^3} \frac{ h f }{e^{hf/k_BT} -1}$

כאן $\ h$ הוא קבוע פלנק ו- $\ k$ הוא קבוע בולצמן. הגודל $\ f$ הוא התדירות ואילו $\ T$ היא הטמפרטורה בקלווין.

מטעמי איזוטרופיות וסימטריה נובע ששטף האנרגיה ליחידת תדירות הוא

$\ S_f = \frac{ 2 \pi f^3}{c^2} \frac{ 1 }{e^{hf/k_BT} -1} = \frac{c}{4} u_f$

[עריכה] חוק סטפן בולצמן

שטף האנרגיה הכולל של הגוף (שנקרא גם "הבהיקות הנקודתית" של גוף) מתקבל על ידי אינטגרציה של השטף על כל התדירויות (מאפס ועד אינסוף) $\ S = \int_{0}^{\infty}{S_f \ df}$ . הפעם, בגלל התיקון שביצע פלאנק האינטגרציה איננה מתבדרת אלא נותנת ש

$\ S = \sigma T^4$

כאשר

$\ \sigma = \frac{c}{4} \frac{8 \pi^5 k_B^4}{15 c^3 h^3} 5.670 400(40) \times 10^{-8} \textrm{J\,s}^{-1}\textrm{m}^{-2}\textrm{K}^{-4}.$

הוא קבוע סטפן-בולצמן.

חוק זה ידוע כחוק סטפן-בולצמן והוא התגלה אמפירית עוד לפני התיקון של פלאנק. ברם, מכיוון שקבוע הפרופורציה תלוי בקבוע פלאנק הקוונטי, לא ניתן היה לחשב באמצעות התאוריה הקלאסית גודל זה אלא רק למדוד אותו בניסוי.

תוצאה חשובה נוספת היא שלחץ הקרינה שווה לשליש מצפיפות האנרגיה: $\ P = (1/3)u = \frac{1}{3} \frac{U}{V}$ . תוצאה זו מתקבלת גם ממציאת משוואת המצב של גז יחסותי.

[עריכה] חוק ההזזה של וויין

חוק ההזזה של וויין: $T \lambda_\mathrm{max} = 2.898... \times 10^6 \ \mathrm{kelvin\cdot nanometers}. \,$ קובע שיש יחס הפוך בין אורך הגל הדומיננטי לבין הטמפרטורה של הגוף השחור.

במילים פשוטות, כפי שניתן לראות בתמונה למעלה, ככל שמחממים את הגוף השחור לטמפרטורה גבוהה יותר כך אורך הגל בו נפלטת הכי הרבה קרינה יהיה קצר יותר.

חוק זה למעשה מאפשר מדידת טמפרטורה של גוף שחור (או גוף שחור בקירוב) באמצעות מדידת ספקטרום הקרינה התרמי שלהם (ספקטרום קרינת גוף שחור). מאחר שכוכבים רבים הם בקירוב גוף שחור, שיטה זו מאפשרת להעריך את "טמפרטורת הצבע" של הכוכבים.

[עריכה] גוף אפור

כפי שנאמר בתחילה לא קיים במציאות גוף שחור אמיתי אבל נוח להשתמש במודל גוף שחור. ניתן לעשות שימוש במדד האמיסיביות לתיאור היחס שבין הפליטה של גוף אפור לפליטה של גוף שחור. לרוב אפסילון אינו מספר קבוע אלא פונקציה של אורך הגל (או התדירות) והטמפרטורה.