Completo (topologia)
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L'idea matematica di spazio completo è quella di un insieme che "non ha buchi". Ad esempio nell'insieme dei numeri razionali non c'è il numero √2, anche se ci si può avvicinare arbitrariamente ad esso rimanendo in Q.
[modifica] Definizione formale
Uno spazio metrico S è detto completo se ogni successione di punti di S di Cauchy ha un limite in S. Osserviamo che ogni successione convergente è sempre una successione di Cauchy. Pertanto, uno spazio metrico non è completo se esiste almeno una successione di Cauchy che non converge.
[modifica] Esempi
Lo spazio metrico Q dei numeri razionali con la metrica standard data dal valore assoluto, non è completo. Ad esempio la successione x1 := 1, xn+1 := xn + 1/xn è di Cauchy, ma non converge ad un limite razionale. Il limite x dovrebbe infatti avere la propietà che x²=2, ma nessun numero razionale ha tale proprietà. D'altra parte se tale successione è considerata come successione di numeri reali converge a √2.
Gli spazi metrici R dei numeri reali e C dei numeri complessi con la metrica data dal valore assoluto sono completi.
Gli insiemi Rn con la norma euclidea standard sono spazi completi. Esistono spazi normati che non sono completi; quelli che lo sono si dicono spazi di Banach.
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