Principio variazionale di Hamilton

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Nelle equazioni di Lagrange si parte dallo stato istantaneo del sistema e tramite piccoli spostamenti virtuali si ricavano le soluzioni per ogni istante successivo. Si tratta cioè di un principio differenziale. Tuttavia è possibile partire da un principio integrale. Si tratta cioè di studiare il movimento globale del sistema fra due istanti di tempo nello spazio delle fasi, cioè dell'iperspazio cartesiano formato dagli 2n assi quanti sono le coordinate generalizzate $q 1,..., q n, p 1,..., p n$ . Dunque il moto del sistema nello spazio delle fasi è rappresentato da una traiettoria nella quale ogni punto rappresenta la configurazione del sistema in un certo istante di tempo.

[modifica] Principio variazionale di Hamilton

Il moto del sistema fra due istanti $t 1, t 2$ dello spazio delle configurazioni, per sistemi conservativi e vincoli perfetti, è tale che:

$I = \int_{t_1}^{t_2} L (q_1,...,q_n,\dot q_1,...,\dot q_n,t) dt$

assuma un valore estremo in corrispondenza della traiettoria del moto; dove $L = T - V$ è la Lagrangiana. Un altro modo per enunciare il principio variazionale di Hamilton è quello di dire che il moto è tale da annullare la variazione dell'integrale di linea tra due istanti:

$\delta I = \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q_1,...,q_n,\dot q_1,...,\dot q_n,t) \ dt = 0$

Per dimostrare che dal principio di Hamilton derivano le equazioni di Lagrange e le equazioni di Eulero-Lagrange, prendiamo tutte le curve che corrispondono alle ipotesi del principio di Hamilton, date da: $q i (t,η) = q i (t,0) + ηφ i (t)$ , di modo che per un certo valore di $η$ , la curva annulli la variazione dell'integrale $δ I$ e $φ(t)$ una funzione tale che $φ(t = t 1) = φ(t = t 2) = 0$ . La variazione dell'intergrale I in funzione del parametro $η$ diventa:

$\frac{\partial I}{\partial \eta} d\eta = \int_{t_1}^{t_2} \sum_{i} \left(\frac{\partial L}{\partial q_i} \frac{\partial q_i}{\partial \eta} d\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \frac{\partial \dot q_i}{\partial \eta} d\eta \right) \ dt$

Ora integrando per parti la seconda somma dell'integrando:

$\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \frac{\partial^2 \dot q_i}{\partial \eta \partial t} \ dt = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \frac{\partial q_i}{\partial \eta} \right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial q_i}{\partial \eta} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \right) \ dt$

dove il primo termine è nullo perché le curve si annullano in $t 1, t 2$ , in definitiva:

$\delta I = \int_{t_1}^{t_2} \sum_{i} \left(\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \right) \frac{\partial \dot q_i}{\partial \eta} \ d\eta \ dt = 0$

Questa variazione è nulla se e solo se ogni componente della somma riferito a $\frac{\partial \dot q_i}{\partial \eta} \ d\eta$ che rappresenta la variazione arbitraria delle curve in funzione della variazione arbitraria del parametro t, cioè uno spostamento virtuale, è nullo, cioè se e solo se:

$\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = 0$

In effetti queste non sono altro che le equazioni di Lagrange che derivano dal principio variazionale di Hamilton e vale anche il viceversa.

[modifica] Principio di Hamilton ampliato

Il principio di Hamilton può essere ampliato anche a sistemi non conservativi e vincoli anolonomi: ogni moto del sistema che avviene nello stesso intervallo di tempo e fra le stesse configurazioni estreme cioè $δ q i (t 1) = δ q i (t 2) = 0$ ha la proprietà di assumere un valore estremo all'integrale:

$J = \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^{n} p_i \dot q_i - H \right ) dt$

dove $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}$ sono i momenti coniugati e H la funzione Hamiltoniana. Analogamente a prima, si può enunciare in modo diverso: ogni moto del sistema che avviene nello stesso intervallo di tempo e fra le stesse configurazioni estreme ha la proprietà di annullare la variazione dell'integrale ampliato di Hamilton:

$\delta J = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^{n} p_i \dot q_i - H (p_i,p_i,t)\right ) dt = 0$ .

Possiamo dimostrare che da questo principio è possibile dedurre le equazioni di Hamilton. Allo stesso modo di prima, prendiamo tutte le curve (che variano nello spazio delle configurazioni) che hanno la proprietà di percorrere il tragitto $t 1, t 2$ nello stesso tempo, caratterizzate da un parametro di variazione virtuale $η$ ; allora la variazione dell'integrale diventa:

$\delta J = \frac{\partial J}{\partial \eta} d\eta = d\eta \frac{\partial}{\partial \eta} \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^{n} p_i \dot q_i - H (p_i,p_i,t)\right ) dt = 0$

Derivando parzialmente rispetto ad $η$ dentro l'integrale:

$d \eta \int_{t_1}^{t_2} \sum_i \left(\frac{\partial p_i}{\partial \eta} \dot q_i + p_i \frac{\partial \dot q_i}{\partial \eta} - \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{\partial q_i}{\partial \eta} - \frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{\partial p_i}{\partial \eta} \right) \ dt = 0$

Integrando per parti la quantità:

$\int_{t_1}^{t_2} p_i \frac{\partial \dot q_i}{\partial \eta} dt = \int_{t_1}^{t_2} p_i \frac{d}{dt} \frac{\partial q_i}{\partial \eta} dt = p_i \frac{\partial q_i}{\partial \eta}|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \dot p_i \frac{\partial q_i}{\partial \eta} \ dt = 0 - \int_{t_1}^{t_2} \dot p_i \frac{\partial q_i}{\partial \eta} \ dt$

Infine otteniamo la forma:

$\int_{t_1}^{t_2} \sum_i \left[\frac{\partial p_i}{\partial \eta} d\eta \left( \dot q_i - \frac{\partial H}{\partial p_i} \right) - \frac{\partial q_i}{\partial \eta} d\eta \left( \dot p_i + \frac{\partial H}{\partial q_i} \right) \right]\ dt = 0$

e questo è nullo se e solo se le somme rispettive alla variazione delle coordinate lagrangiane $\frac{\partial q_i}{\partial \eta} d\eta$ e alla variazione dei momenti coniugati $\frac{\partial p_i}{\partial \eta} d\eta$ sono rispettivamente nulle e ciò avviene solo se le espressioni tra parentesi tonde si annullano, cioè:

$\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$

$\dot p_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i}$

che sono per l'appunto le equazioni di Hamilton.

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