Prodotto tensoriale

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Dati due vettori v e w appartenenti a due spazi vettoriali V e W sopra lo stesso campo K, si definisce prodotto tensoriale tra i due vettori il tensore di rango 1

$\mathbf {v}\otimes \mathbf {w} \in \mathbf {V}\otimes \mathbf {W}$

Fissate due basi su cui proiettare i vettori, e identificando $\mathbf {V}\otimes \mathbf {W}$ come l'insieme delle matrici di opportune dimensioni, il prodotto tensoriale tra v e w è $\mathbf {v}\mathbf {w}^T$ , dove la T ad apice indica l'operatore di trasposizione.

Esempio:

$\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix}$

Rango risultante = 2, dimensioni dello spazio resultanti = 4×3 = 12.

Qui il rango indica il numero di indici richiesto, mentre la dimensione è il numero di gradi di libertà della matrice risultante.

Indice

1 Prodotto tensoriale di due tensori
- 1.1 Esempio
2 Il prodotto di Kronecker di due matrici
3 Prodotto tensore di forme multilineari
4 Prodotto tensore di due spazi vettoriali (definizione universale)
5 Proprietà universale del prodotto tensore
6 Prodotto tensore di spazi di Hilbert
7 Relazione con lo spazio duale
8 Tipi di tensori
9 Prodotto tensore per programmatori
- 9.1 Linguaggi di programmazione vettoriali

[modifica] Prodotto tensoriale di due tensori

C'è una formula generale per il prodotto di due (o piu') tensori,

$V\otimes U = V_{\left[ i_1,i_2,i_3,...i_n\right] }U_{\left[ j_1,j_2,j_3,...j_m\right] }$ .

Stiamo qui assumendo che i tensori siano ortogonali, senza distinzione fra indici di covarianza e controvarianza per semplicità.

Che significato ha la formula generale? Il significato è che se una coppia di tensori sono giustapposti (posti lato per lato) allora essi si combinanoa formare un nuovo tensore che viene quindi chiamato prodotto tensore della coppia di tensori giustapposti. Il numero di componenti indipendenti viene moltiplicato.

I parametri introdotti sopra soddisfano le seguenti relazioni:

$\mathrm{rango}( U \otimes V )=\mathrm{rango}(U)+\mathrm{rango}(V)$

$\mathrm{dim}( U \otimes V )=\mathrm{dim}(U) \mathrm{dim}(V)$

[modifica] Esempio

Sia U un tensore di tipo (1,1) con componenti U^α_β, e sia V un tensore di tipo (1,0) con componenti V^γ. Allora

$U^\alpha {}_\beta V^\gamma = (U \otimes V)^\alpha {}_\beta {}^\gamma$

$V^\mu U^\nu {}_\sigma = (V \otimes U)^{\mu \nu} {}_\sigma$ .

Il prodotto tensore eredita tutti gli indici dei suoi fattori.

Voci correlate: Trattazione classica dei tensori

[modifica] Il prodotto di Kronecker di due matrici

Articolo principale: Prodotto di Kronecker.

Con le matrici questa operazione è solitamente chiamata il prodotto di Kronecker, un termine usato per rendere chiaro che il risultato ha una particolare struttura a blocchi, nella quale ciascun elemento della prima matrice viene sostituito dalla seconda matrice, moltiplicata per quell'elemento. Per matrici $U$ e $V$ vale:

$U \otimes V = \begin{bmatrix} u_{11}V & u_{12}V & \cdots \\ u_{21}V & u_{22}V \\ \vdots & & \ddots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{11}v_{11} & u_{11}v_{12} & \cdots & u_{12}v_{11} & u_{12}v_{12} & \cdots \\ u_{11}v_{21} & u_{11}v_{22} & & u_{12}v_{21} & u_{12}v_{22} \\ \vdots & & \ddots \\ u_{21}v_{11} & u_{21}v_{12} \\ u_{21}v_{21} & u_{21}v_{22} \\ \vdots \end{bmatrix}$ .

[modifica] Prodotto tensore di forme multilineari

Date le forme multilineari $f (x 1,... x k)$ e $g (x 1,... x m)$ , il loro prodotto tensore è la forma multilineare

$(f \otimes g) (x_1,...,x_{k+m})=f(x_1,...,x_k)g(x_{k+1},...,x_{k+m})$

[modifica] Prodotto tensore di due spazi vettoriali (definizione universale)

Chiamiamo prodotto tensore di due spazi vettoriali $\ V, W$ una coppia $(G, \varphi)$ , $\ G$ spazio vettoriale e $\varphi:V\times W\rightarrow G$ bilineare, tale che

$\mbox{im}\,\varphi = G$
se $\rho:V\times W\rightarrow H$ è multilineare ( $\ H$ spazio vettoriale), esiste una applicazione lineare $f:G\rightarrow H$ che fattorizza $\ \rho$ cioè $\rho = f\circ\varphi$

È relativamente facile dimostrare che le due rischieste si possono sostituire con la seconda in cui si imponga anche l'unicità di $\ f$ .

Questa definizione di prodotto tensoriale tra due spazi è la più generale possibile (si applica anche a spazi di dimensione infinita), ed è basata su quella che si chiama caratterizzazione universale del prodotto tensore (vedi Teoria delle categorie (matematica)). Si dimostra che, qualora esista, il prodotto tensoriale è unico a meno di isomorfismo. Per questo si può indicare direttamente $\ G$ con $V\otimes W$ senza specificare altro.

Dimostrarne l'esistenza, presi due spazi qualsiasi, è un'altro paio di maniche. A grandi linee si procede come segue. Si comincia considerando lo spazio vettoriale libero $\mathcal F_{V\times W}$ su $V\times W$ , notiamo che l'inclusione $\imath:V\times W\rightarrow \mathcal F_{V\times W}$ non è bilineare. Consideriamo allora il sottospazio $\ K$ generato da tutti i vettori del tipo

$\begin{matrix}\alpha(v, w) + \beta(u,w) - (\alpha v + \beta u, w),\quad &u,v\in V, w\in W\\ \alpha(v, w) + \beta(v,u) - (v, \alpha w + \beta u),\quad & v\in V, u,w\in W\end{matrix}\quad \alpha,\beta\mbox{ scalari}$

dove, in pratica, identifichiamo gli elementi che dovrebbero essere uguali per far saltare fuori un mappa bilineare. Si verifica che $(\mathcal F_{V\times W}/K, \pi\circ\imath)$ , ove $\ \pi$ è la proiezione canonica, soddifa le richieste di prima ed è un prodotto tensore di $\ V,W$ .

Indicando con $v\otimes w$ l'elemento $\varphi(v,w)\in V\otimes W$ , è ovvio dalla definizione che

$\begin{matrix} (\alpha v + \beta u )\otimes w = \alpha (v\otimes w) + \beta(u\otimes w)\\ w\otimes(\alpha v + \beta u ) = \alpha (w\otimes v) + \beta(w\otimes u) \end{matrix}$

Date le basi $\ \{v_i\}$ e $\ \{w_i\}$ per $\ V$ e $\ W$ rispettivamente, i tensori della forma $v_i \otimes w_j$ sono una base di $V \otimes W$ . La dimensione del prodotto è quindi il prodotto delle dimensioni degli spazi di partenza; ad esempio $\mathbb{R}^m \otimes \mathbb{R}^n$ avrà dimensione $\ mn$ .

[modifica] Proprietà universale del prodotto tensore

Lo spazio di tuttle le mappe lineari da $V\times W$ ad un altro spazio vettoriale $K$ è isomorfo in modo naturale allo spazio di tutte le mappe lineari da $V \otimes W$ a $K$ . Questo risulta dalla costruzione del prodotto tensore: $V\otimes W$ ha tutte e sole le relazioni che assicurano che un omomorfismo da $V\otimes W$ a $K$ siano lineari.

[modifica] Prodotto tensore di spazi di Hilbert

Il prodotto tensore di due spazi di Hilbert è una altro spazio di Hilbert, che è definito come descritto di seguito.

[modifica] Definizione

Siano H₁ e H₂ due spazi di Hilbert con prodotti interni $\langle \cdot,\cdot\rangle_1$ e $\langle \cdot,\cdot\rangle_2$ rispettivamente. Si costruisca il prodotto tensoriale H₁ and H₂ di spazi vettoriali come spiegato sopra. Si può dotare questo prodotto tensore di spazi vettoriali di un prodotto interno definendo

$\langle\phi_1\otimes\phi_2,\psi_1\otimes\psi_2\rangle = \langle\phi_1,\psi_1\rangle_1 \, \langle\phi_2,\psi_2\rangle_2 \quad \mbox{for all } \phi_1,\psi_1 \in H_1 \mbox{ and } \phi_2,\psi_2 \in H_2$

ed estenderlo per linarità. Infine, si prenda il completamento rispetto a questo prodotto interno. Il risultato è il prodotto tensore di H₁ e H₂ come spazi di Hilbert.

[modifica] Proprietà

Se H₁ e H₂ hanno come base ortonormale {φ_k} e {ψ_l}, rispettivamente, allora {φ_k ⊗ ψ_l} è una base ortonormale per H₁ ⊗ H₂.

[modifica] Esempi ed applicazioni

I seguenti esempi mostrano come i prodotti tensori emergano naturalmente.

Assegnati due spazi di misura $X$ e $Y$ , con misure μ e ν rispettivamente, si può studiare L²(X × Y), lo spazio delle funzioni su X × Y che sono a quadrato sommabili rispetto alla misura prodotto μ × ν. Se f e g sono funzioni a quadrato sommabili su X ed Y rispettivamente, si può definire una funzione h su X × Y ponendo h(x,y) = f(x) g(y). La definizione della misura prodotto assicura che tutte le funzioni con questa forma sono a quadrato sommabili, cosicché h definisce una mappa bilineare L²(X) × L²(Y) → L²(X × Y).

Anche le combinazioni lineari di funzioni della forma f(x) g(y) appartengono a L²(X × Y). Risulta infatti che l'insieme delle combinazioni lineari è denso in L²(X × Y), se L²(X) e L²(Y) sono separabili. Questo mostra che L²(X) ⊗ L²(Y) è isomorfo a L²(X × Y), e spiega perché si debba prendere il completamento nella costruzione del prodotto tensore fra spazi di Hilbert.

Analogamente, si può mostrare che L²(X; H), lo spazio delle funzioni a quadrato sommabili X → H, è isomorfo a L²(X) ⊗ H se lo spazio è separabile. L'isomorfismo mappa f(x) ⊗ φ ∈ L²(X) ⊗ H in f(x)φ ∈ L²(X; H). Possiamo combinare ciò con il precedente esempio e concludere che L²(X) ⊗ L²(Y) e L²(X × Y) sono entrambi isomorfi a L²(X; L²(Y)).

Il prodotto tensore di spazi di Hilbert ricorre nella meccanica quantistica. Se una particella è descritta dallo spazio di Hilbert H₁, ed un'altra particella da H₂, allora il sistema composto dalle due particelle è descritto dal prodotto di H₁ and H₂. Per esempio, lo spazio necessario a descrivere un oscillatore armonico quantistico è L²(R), e per descrivere due oscillattori armonici si userà L²(R) ⊗ L²(R), che è isomorfo a L²(R²). Quindi il sistema a due particelle è associato ad una funzione d'onda della forma φ(x₁, x₂). Un esempio piu' generale è fornito dagli spazi di Fock, che descrivono un sistema con un numero variabile di particelle.

[modifica] Relazione con lo spazio duale

Si noti che lo spazio $(V \otimes W)^\star$ (il duale di $V \otimes W$ , contente tutti i funzionali lineari su quello spazio) corrisponde in modo naturale allo spazio di tutti i funzionali su $V \times W$ . In altre parole, ogni funzionale bilineare è un funzionale sul prodotto tensore degli spazi, e vice versa.

Quando $V$ e $W$ sono di dimensione finita, esiste un isomorfismo naturale fra $V^\star \otimes W^\star$ e $(V \otimes W)^\star$ , mentre per spazi vettoriali di dimensione arbitraria si ha solo un'inclusione $V^\star \otimes W^\star\subset (V \otimes W)^\star$ . I tensori di funzionali lineari sono quindi funzionali bilineari. Questo fornisce un nuovo modo di vedere lo spazio dei funzionali bilineari come un prodotto tensore.

[modifica] Tipi di tensori

Sottospazi lineari di operatori lineari (o, in generale, operatori multilineari) determinano spazi quoziente naturali dello spazio tensoriale, che sono spesso utili. L'esempio principale è il prodotto wedge. Un altro esempio potrebbe essere la trattazione delle forme algebriche dei tensori simmetrici.

[modifica] Prodotto tensore per programmatori

[modifica] Linguaggi di programmazione vettoriali

I linguaggi di programmazione possono avere questa applicazione predefinita. Per esempio, in APL il prodotto tensore è espresso come

$\circ . \times$ ; per esempio

$A \circ . \times B$ or $A \circ . \times B \circ . \times C$ ).

In J il prodotto tensore è la forma diadica $* /$ ; per esempio

$a * / b$

oppure

$a * / b * / c$ .

Si noti che il trattamento con J permette la rappresentazione di alcuni campi tensoriali (così a e b possono essere funzioni invece che costanti -- il risultato è allora una funzione derivata, e se a e b sono differenziabili allora anche a*/b è differenziabile).

Comunque questo tipo di notazione non è universalmente presente nei linguaggi per la manipolazione di vettori. Alcuni linguaggi richiedono l'esplicito trattamento degli indici (per esempio, Matlab) e possono supportare o meno funzioni di ordine più elevato come lo jacobiano (per esempio, Fortran/APL).

Analisi matematica