Geometrie

Vu Wikipedia, der fräier Enzyklopedie.

D'Geometrie ass d'Wëssenschaft déi sech mat de Relatiounen tëscht Längten a Wénkelen am Plang oder am Raum bescheftëgt. Et ass ee vun den zwee pre-moderne mathematesche Gebidder nieft der Léier vun den Zuelen.

Hautdesdaags ass d'Geometrie e vill méi ëmfangräicht Gebitt ginn. Vill Konzepter an der moderner Mathematik kënnen abstrakt a geometresche Figuren duergestallt ginn, sou dass een heiansdo guer net méi erëmkennt, dass déi nei Geomterie vun de Relatiounen tëscht Längten a Wénkelen schwätzt.

Inhaltsverzeechnis

1 Geometrësch Relatiounen am Plang
2 Vektoriell Relatiounen
- 2.1 Produit Scalaire
- 2.2 Produit Vectoriel
3 Rotatiounen
4 Kuckt och

[Änneren] Geometrësch Relatiounen am Plang

[Änneren] Gesetz vun de Cosinusen

och nach Relation de Pythagore généralisée genannt

$\ c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma$

[Änneren] Gesetz vun de Sinusen

$\frac{\sin \gamma}{c}=\frac{\sin \beta}{b}=\frac{\sin \alpha}{a}$

[Änneren] Gesetz vum Thales

$\frac{OA}{OB}=\frac{AA'}{BB'}=\frac{OA'}{OB'}$

[Änneren] Vektoriell Relatiounen

[Änneren] Produit Scalaire

$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= \left \Vert \overrightarrow{A B} \right \| \left \Vert \overrightarrow{A C} \right \| \cos \alpha$

An engem Cartesianëschen Koordinatensystem wou d'Punkten A, B an C respektiv $\left ( x_A, y_A \right )$ , $\left ( x_B, y_B \right )$ an $\left ( x_C, y_C \right )$ als Koordinaten hunn, sinn d'Vecteuren $\overrightarrow{A B}$ an $\overrightarrow{A C}$ esou definéiert:
$\overrightarrow{A B} = \begin{pmatrix}x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}\qquad \overrightarrow{A C} = \begin{pmatrix}x_C-x_A \\ y_C-y_A \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= \left ( x_B-x_A \right ) \left ( x_C-x_A \right ) + \left ( y_B-y_A \right ) \left ( y_C-y_A \right )$

Dës Formele sinn einfach an de Raum ëmzeschreiwen: et brauch ee just ee Koordinat beizefügen wat dann erméiglegt, aus dem Plang erauszekommen. Am Raum sinn d'Punkten an d'Vecteuren also duerch dräi Zuelen (hir Koordinaten) definéiert. Dëst féiert eis dann zum Produit Scalaire am Raum:
$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= \left ( x_B-x_A \right ) \left ( x_C-x_A \right ) + \left ( y_B-y_A \right ) \left ( y_C-y_A \right ) + \left ( z_B-z_A \right ) \left ( z_C-z_A \right )$

[Änneren] Produit Vectoriel

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}= \left \Vert \overrightarrow{a} \right \| \left \Vert \overrightarrow{b} \right \| \sin \theta \cdot \overrightarrow{n}$

Op dësem Bild kann een gesinn dass een aus dem Plang erauskënnt an sech am Raum beweegt. Dofir ass och dee Vecteur $\overrightarrow {n}$ do deen gläichzäitëg e rietsen Wénkel mam Vecteur $\overrightarrow {a}$ a mam Vecteur $\overrightarrow {b}$
Sief d'Vecteuren $\overrightarrow {a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow {b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ , dann ass $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ -a_1b_3+a_3b_1 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$