زمرة (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الزمرة group هي مجموعة مزودة بعملية ثنائية و تحقق مجموعة من الشروط أو البدهيات التي ستذكر لاحقا . مجموعة العداد الصحيحة تشكل زمرة بالنسبة لعمية الجمع و تعتبر مثالا للزمر . تدرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر .

نظرية الزمر نشات على يد ايفارست غالويس Évariste Galois في عام 1830 ، و هي تهتم أساسا بمشكلة إيجاد متى تكون كثير حدود أو معادلة جبرية حلولة soluble أي لها حلولا أو جذور . قبل هذه النظرية كانت الزمر تدرس أساسا ضمن إطار دراسة طرق الترتيب Permutation .

[تحرير] تعريف

الزمرة Group أو المجموعة الوظيفية في الرياضيات هي عبارة عن مجموعة $G\!$ مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بـ $\bullet$ ¹ بحيث يربط كل ثنائية مرتبة $(a, b)\!$ من عناصر $G\!$ عنصر $(a \bullet b)$ من $G\!$ بحيث يحقق البديهيات Axioms التالية:

الإغلاق: $\forall a, b \in G : a \bullet b \in G$
التجميع: $a \bullet(b \bullet c) = (a \bullet b)\bullet c \ \forall a, b, c \in G$
العنصر الحيادي (identity): $\exists \ e \in G : a \bullet e = e \bullet a = a \ \forall a \in G$
العنصر المتمم (inverse): $\forall a \in G, \exists \ \acute{a} \in G : a \bullet \acute{a} = \acute{a} \bullet a = e$

ندعو الزمرة بالابيلية (abelian group) نسبة للرياضي ايبل، إن حققت الشرط الإضافي التالي:

5. التبديل: $a \bullet b = b \bullet a \ \forall a, b \in G$

في حال كانت المجموعة منتهية (عدد نهائي من العناصر) يطلق على الزمرة اسم الزمرة المنتهية (finite group) و إلا تدعى بالزمرة اللامنتهية (infinite group) و يكون ترتيب الزمرة (order) مساو لعدد عناصر المجموعة.

مجموعة الأعداد الطبيعية المزودة بعملية الجمع أو الضرب، تعتبر زمرة بينما مجموعة الاعداد الطبيعية المزودة بعملية القسمة لا تعتبر زمرة لأنها لا تحقق شرط الإغلاق.

تدرس هذه الكائنات الرياضية في نطاق نظرية نطلق عليها اسم نظرية المجموعات الوظيفية group theory .