Група (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Цей термін має також інші значення. Див. Група

Гру́па — одна з найважливіших концепцій сучасної математики, яка має числені застосування до суміжних дисциплін. Абстрактна група — це множина з бінарноєю операцією добутку, що задовільняє певним аксіомам (асоціативнoсті, існування нейтрального і оберненого елемента), але не обов'язково комутативна. У застосуваннях математики групи часто виникають як засіб систематично описувати симетрії різного ґатунку або як групи перетворень.

[ред.] Означення

Групою називається множина G, на якій визначена бінарна операція $G \times G \to G$ , що звичайно називається добутком і позначається $(a,b) \to a \cdot b$ або $(a,b) \to ab$ і має такі властивості:

$\forall a, b, c \in G : a(bc) = (ab)c$ (Асоціативність)
$\exists \, e \in G \quad \forall a \in G : ea=ae=a$ (Існування одиниці або нейтрального елемента)
$\forall a \in G \; \exists \; a^{-1}\in G\;:\;a^{-1}a=aa^{-1}=e$ (Існування оберненого елемента).

Таким чином, група є моноїд, у якому для кожного елемента існує обернений. Якщо $G$ це топологічний простір і операції добутка і оберненого — неперервні відображення, то $G$ — це топологічна група. Якщо до того ж $G$ має структуру багатостатності (en:manifold) і групові операції зумісні з цією структурою, то $G$ називається групою Лі (раніше неперервною групою), на честь норвезьського математика Софуса Лі, який розпочав їх дослідження.

Властивості абстрактних груп вивчаються в теорії груп. Провідну роль в геометрії, зокрема в диференціальній геометрії і топології, відіграють дії груп на різноманітних просторах (див. також групи перетворень).

[ред.] Абелеві групи і адитивні групи

Група $G$ називається комутативною або абелевою (на честь норвезьського математика Нільса Генріха Абеля), якщо додатково виконується тотожність

$ab=ba \quad \forall a,b\in G$

(закон комутативності).

Груповою операцією в комутативній групі може бути також додавання, наприклад звичайне додавання чисел або векторів. В такому випадку змінюється позначення $a \cdot b$ на $a + b$ . Роль нейтрального елемента $e$ відіграє нульовий елемент $0,$ що задовільняє

$0 + a = a \quad \forall a \in G.$

Роль оберненого елемента $a - 1$ відіграє протилежний елемент $- a,$ що задовільняє

$(-a) + a = a + (-a) = 0 \quad \forall a \in G.$

[ред.] Приклади груп

1. $\mathbb{Z}$ , адитивна група цілих чисел, із звичайними додаванням $+$ , нульовим елементом $0$ і протилежним елементом $- a$ . Так само утворюють адитивну групу всі раціональні, дійсні та комплексні числа. З іншого боку, натуральні числа $\mathbb{N}$ не утворюють групу, тому що якщо $a\in\mathbb{N}, -a\notin \mathbb{N}$ .

2. Для будь-якого натурального $N$ , залишки $\operatorname{mod}\,N$ утворюють скінчену адитивну групу з $N$ елементів, цикличну групу порядка $N .$

3. $S_n (n=1,2,3,\ldots)$ , група перестановок $n$ -елементної множини. Операція — це композиція перестановок. Ця група — некомутативна при $n\geq 3$ і нерозв'язна при $n\geq 5$ . За теорією Галуа, з цього випливає нерозв'язність загального алгебраїчного рівняння степеня $n\geq 5$ .

4. Ненульові кватерніони $\mathbb{H}^*=\mathbb{H}\setminus\{0\}$ .

5. $GL_n(\mathbb{R})$ , група $n\times n$ матриць з дійсними елементами і ненульовим визначником. Операція — це добуток матриць, нейтральний елемент — одинична матриця. Взагалі, можна розглянути матриці над довільним полем замість $\mathbb{R}$ . З іншого боку, всі $n\times n$ матриці не утворюють групу за добутком, тому що нульова матриця не має оберненої.

6. $SL_n(\mathbb{R})$ , група $n\times n$ матриць з дійсними елементами і визначником $1$ . Ця група є підгрупою групи $GL_n(\mathbb{R})$ з попереднього прикладу.

Групи $\mathbb{H}^*,GL_n(\mathbb{R}), SL_n(\mathbb{R})$ — то топологічні групи і групи Лі. Останні дві групи діють на векторному просторі $\mathbb{R}^n$ звичайним множенням $n\times n$ матриць і $n\times 1$ векторів.