Grupo (matemática)

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Diagrama de ciclos de D₆

Em matemática, grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz certos axiomas, dados abaixo. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros é um grupo com relação à operação de adição.

O ramo da matemática que estuda os grupos é chamado de Teoria de grupos. A origem histórica da Teoria de grupos remonta ao trabalho de Evariste Galois (1830), e ao estudo de equações algébricas e suas soluções.

Grupos estão por trás de muitas estruturas algébricas, como corpos e espaços vetoriais, e são uma importante ferramenta para o estudo de simetrias. Por estas razões, a Teoria de Grupos é considerada uma área importante da matemática moderna, e tem muitas aplicações em Física Matemática, por exemplo em física de partículas.

[editar] Definição

Em matemática, grupo é um conjunto não-vazio G com uma operação * definida para seus elementos (por exemplo, a, b, c) que obedece aos quatro seguintes axiomas:

Associatividade: (a * b) * c = a * (b * c);
Existência da identidade: Existe um elemento e em G tal que e * a = a * e = a.
Existência do inverso: Para todo a existe um b tal que a * b = b * a = e, onde e é a identidade.
Fechamento: a * b pertence a G.

A ordem de um grupo |G| é a cardinalidade de G.

Este último axioma na verdade não é requerido, uma vez que pode ser derivado da operação binária exigida na definição do grupo, isto é, a operação binária de *: GxG -> G, já tem em sua definição a exigência de fechamento. No entanto, ao se tentar determinar se * é uma operação de grupo, temos que verificar o fechamento. Isto é parte da verificação se * é uma operação binária.

[editar] Exemplos

Um exemplo de grupo de ordem finita é o grupo Klein 4 G = {e, a, b, c} onde e é o elemento neutro, todo elemento é seu próprio inverso, e as demais operações são definidas de forma que se (x,y,z) são três elementos distintos, então x * y = z.

O conjunto ( $\mathbb{Z}_n$ ,+), formado pelos números entre 0 e n-1, em que a soma é feita módulo n, é um grupo. Por exemplo, em $\mathbb{Z}_{42}$ , temos que 20 + 30 = 8.

[editar] Teoremas

A identidade de um grupo é única. Demonstração: suponha 0 e 0' sejam duas identidades. Então, para todo g em G, é verdade que g * 0' = 0' * g = g. Também é verdade que g * 0 = 0 * g = g. Então, 0 * g = 0' * g que implica que 0 * g * -g = 0' * g * -g que implica que 0 = 0'. Logo, identidades são únicas.

Um elemento de um grupo G possui apenas um inverso. Demonstração: suponha que g*x=e. Aplicando o inverso de x nessa equação, temos: (g*x)*x^(-1)=e*x^(-1). Que pela associatividade, fica: g*(x*x^(-1))=e*x^(-1). Pela propriedade do elemento inverso: g*e=e*x^(-1). Finalmente, pela propriedade do elemento neutro: g=x^(-1). Ou seja, x^(-1) é único. Que é o que queríamos demonstrar.

Em um grupo temos (xy)^(-1)=y^(-1)x^(-1).Demonstração: Temos que (xy)^(-1)(xy)=e. Daí (xy)^(-1)x=y^(-1) e finalmente (xy)^(-1)=y^(-1)x^(-1). Como queríamos demonstrar.

Considere um grupo G finito com ordem par. Então existe um g em G tal que g * g = e. Prova: Coloque todos os membros do grupo em conjunto S. Remova todos os pares (g, -g) de S tal que g * -g = -g * g = e, sendo que g é diferente de -g. Isso vai remover um número par de elementos. Então vai ficar um número par de elementos em S. Agora remova a identidade e. Agora sobra um número ímpar de elementos em S. Daí pelo menos um deles precisa ser seu próprio inverso; ou seja, ter ordem 2. Então existe um g em G tal que g * g = e.

[editar] Subgrupos

Ver artigo principal: Subgrupo.

Definição: Dado um grupo (G,*) dizemos que um subconjunto H de G é um subgrupo, quando (H,*) é um grupo.

[editar] Ver também

Acção de um grupo
Grupo topológico
Grupo abeliano, um grupo em que a operação binária é comutativa
Monóide, quando a operação binária é associativa e tem elemento neutro, mas não necessariamente tem elemento inverso