Ryhmä (algebra)
Wikipedia
Ryhmä on laskutoimituksella varustettu epätyhjä joukko siten, että kahdesta joukon alkiosta laskutoimituksen avulla saatava kolmas alkio kuuluu tähän joukkoon, laskutoimitus on liitännäinen, laskutoimituksella on neutraalialkio ja jokaisella joukon alkiolla on käänteisalkio. Ryhmä on algebran peruskäsite, joka toimii "rakennuspalikkana" määriteltäessä sellaisia matematiikan rakenteita kuten rengas ja kunta.
Sisällysluettelo |
[muokkaa] Määritelmä
Ryhmä tarkoittaa epätyhjää joukkoa G, jossa on määritelty binäärioperaatio * ja joka toteuttaa seuraavat ehdot:
- Operaatio * on suljettu joukossa G:
- Operaatio on assosiatiivinen:
- Yksikköalkio on olemassa:
- Käänteisalkio on olemassa:
Toisin sanoen ryhmä on monoidi, jossa jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Edelleen se on assosiatiivinen luuppi (engl. Loop (algebra)).
Ensimmäinen ehto tarkoittaa, että ryhmä on suljettu operaattorin suhteen: soveltamalla operaattoria mihin tahansa kahteen joukon G alkioon saadaan tulokseksi aina joukon G alkio. Toinen ehto taas määrää, että operaatioiden suorittamisjärjestys ei vaikuta lopputulokseen. Kolmannen ehdon mukaan joukossa on olemassa yksikköalkio (säkö), jonka soveltaminen mihin tahansa ryhmän alkioon kummalta puolelta tahansa tuottaa tulokseksi tuon alkion itsensä. Neljäs ehto taas tarkoittaa, että jokaisella ryhmän alkiolla on käänteisalkio, joka operoituna alkuperäisen alkion kanssa kummalta tahansa puolelta tuottaa tulokseksi yksikköalkion.
Jos lisäksi on voimassa
,
sanotaan, että ryhmä on kommutatiivinen eli vaihdannainen ja siten Abelin ryhmä.
[muokkaa] Merkintöjä
Ryhmäteoriassa käytetään myös seuraavia merkintöjä:
- Käänteisalkiota merkitään myös alkion yläpuolisella viivalla: a⁻¹ = ā.
- Laskutoimitusta merkitään myös asteriskilla tai kertomerkillä, tai laskutoimituksen merkki voidaan jättää kokonaan pois: a ∘ b = a * b = a · b = ab.
- Sulkeet voidaan jättää pois laskutoimituksen liitännäisyyden nojalla: (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) = a ∘ b ∘ c.
[muokkaa] Ominaisuudet
Ryhmällä on muun muassa seuraavat ominaisuudet:
- Ryhmän neutraalialkio (eli ykkösalkio) on yksikäsitteinen.
- Todistuksen ideana on olettaa, että ryhmässä on kaksi neutraalialkiota, ja osoittaa, että nämä ovat samat. Olkoon siis ryhmässä neutraalialkion e lisäksi myös neutraalialkio f. Tällöin pätee yhtälö f = f ∘ e, koska e on neutraalialkio määritelmän ehdon 3 nojalla. Samoin pätee yhtälö f ∘ e = e, koska f on neutraalialkio oletuksen nojalla. Siispä on f = f ∘ e = e ∘ f = e eli f = e eli neutraalialkiot ovat samat.
- Kullakin ryhmän alkiolla a on täsmälleen yksi käänteisalkio a⁻¹.
- Todistuksen ideana on olettaa, että ryhmän alkiolla on kaksi käänteisalkiota, ja osoittaa, että nämä ovat samat. Olkoon siis a ryhmän alkio ja olkoon sillä käänteisalkion a⁻¹ lisäksi myös käänteisalkio b. Tällöin määritelmän ehdon 4 mukaan a ∘ b = e. Operoidaan yhtälöön vasemmalta alkiolla a⁻¹, jolloin saadaan yhtälö a⁻¹ ∘ (a ∘ b) = a⁻¹ ∘ e ja edelleen määritelmän ehdon 2 nojalla yhtälö (a⁻¹ ∘ a) ∘ b = a⁻¹ ∘ e. Määritelmän ehdon 4 nojalla a⁻¹ ∘ a = e, jolloin saadaan yhtälö e ∘ b = a⁻¹ ∘ e, joka supistuu määritelmän ehdon 3 nojalla muotoon b = a⁻¹. Alkion a käänteisalkiot ovat siis samat.
- Jos a ja b ovat ryhmän alkioita, niin on olemassa yksikäsitteiset ryhmän alkiot x ja y, joilla a ∘ x = b ja y ∘ a = b.
- Näytetään, että x ja y ovat olemassa ja että ne ovat ryhmän alkioita. Ratkaistaan ensin alkiot x ja y. Siispä on
- a ∘ x = b
- ⇔ a⁻¹ ∘ (a ∘ x) = a⁻¹ ∘ b (operoidaan puolittain vasemmalta alkiolla a⁻¹)
- ⇔ (a⁻¹ ∘ a) ∘ x = a⁻¹ ∘ b (määritelmän ehdon 2 nojalla)
- ⇔ e ∘ x = a⁻¹ ∘ b (määritelmän ehdon 4 nojalla)
- ⇔ x = a⁻¹ ∘ b (määritelmän ehdon 3 nojalla)
- ja
- y ∘ a = b
- ⇔ (y ∘ a) ∘ a⁻¹ = b ∘ a⁻¹ (operoidaan puolittain oikealta alkiolla a⁻¹)
- ⇔ y ∘ (a ∘ a⁻¹) = b ∘ a⁻¹ (määritelmän ehdon 2 nojalla)
- ⇔ y ∘ e = b ∘ a⁻¹ (määritelmän ehdon 4 nojalla)
- ⇔ y = b ∘ a⁻¹ (määritelmän ehdon 3 nojalla).
- Näytetään, että x ja y ovat ryhmän alkioita. Alkio x = a⁻¹ ∘ b on ryhmän alkio, sillä a ja b ovat oletuksen nojalla ryhmän alkioita ja a⁻¹ on ryhmän alkio, koska se on alkion a käänteisalkio, joten kahdesta ryhmän alkiosta laskutoimituksella saatava alkio a⁻¹ ∘ b on ryhmän alkio. Vastaavalla päättelyllä myös y = b ∘ a⁻¹ on ryhmän alkio.
- Näytetään, että x ja y ovat yksikäsitteisiä. Todistuksen ideana on olettaa, että yhtälöillä a ∘ x = b ja y ∘ a = b on kummallakin kaksi ratkaisua, ja johtaa tulos, että ratkaisut ovat samat. Olkoon siis myös ryhmän alkio z, jolla pätee a ∘ z = b. Koska on a ∘ x = b, saadaan yhtälö
- a ∘ z = a ∘ x
- ⇔ a⁻¹ ∘ (a ∘ z) = a⁻¹ ∘ (a ∘ x) (operoidaan puolittain vasemmalta alkiolla a⁻¹)
- ⇔ (a⁻¹ ∘ a) ∘ z = (a⁻¹ ∘ a) ∘ x (määritelmän ehdon 2 nojalla)
- ⇔ e ∘ z = e ∘ x (määritelmän ehdon 4 nojalla)
- ⇔ z = x (määritelmän ehdon 3 nojalla).
- Alkiot z ja x ovat siis samat, joten yhtälön a ∘ x = b ratkaisu on yksikäsitteinen.
- Vastaavalla tavalla näytetään, että myös yhtälön y ∘ a = b ratkaisu on yksikäsitteinen. Olkoon ryhmän alkio z, jolla pätee z ∘ a = b. Täten on
- z ∘ a = y ∘ a
- ⇔ (z ∘ a) ∘ a⁻¹ = (y ∘ a) ∘ a⁻¹ (operoidaan puolittain oikealta alkiolla a⁻¹)
- ⇔ z ∘ (a ∘ a⁻¹) = y ∘ (a ∘ a⁻¹) (määritelmän ehdon 2 nojalla)
- ⇔ z ∘ e = y ∘ e (määritelmän ehdon 4 nojalla)
- ⇔ z = y (määritelmän ehdon 3 nojalla).
- Alkiot z ja y ovat siis samat, joten yhtälön y ∘ a = b ratkaisu on yksikäsitteinen.
- Ryhmän laskutoimituksella on seuraavat supistussäännöt: jos a ∘ b = a ∘ c, niin b = c, ja jos b ∘ a = c ∘ a, niin b = c.
- Osoitetaan, että yhtälöstä a ∘ b = a ∘ c seuraa b = c. Operoidaan yhtälöön a ∘ b = a ∘ c puolittain vasemmalta alkiolla a⁻¹, jolloin saadaan yhtälö a⁻¹ ∘ (a ∘ b) = a⁻¹ ∘ (a ∘ c). Tästä saadaan määritelmän ehdon 2 nojalla yhtälö (a⁻¹ ∘ a) ∘ b = (a⁻¹ ∘ a) ∘ c. Koska määritelmän ehdon 4 nojalla a⁻¹ ∘ a = e, yhtälö voidaan sieventää muotoon e ∘ b = e ∘ c. Määritelmän ehdon 3 nojalla yhtälö sievenee edelleen muotoon b = c.
- Osoitetaan, että yhtälöstä b ∘ a = c ∘ a seuraa b = c. Operoidaan yhtälöön b ∘ a = c ∘ a puolittain oikealta alkiolla a⁻¹, jolloin saadaan yhtälö (b ∘ a) ∘ a⁻¹ = (c ∘ a) ∘ a⁻¹. Tästä saadaan määritelmän ehdon 2 nojalla yhtälö b ∘ (a ∘ a⁻¹) = c ∘ (a ∘ a⁻¹). Koska määritelmän ehdon 4 nojalla a⁻¹ ∘ a = e, yhtälö voidaan sieventää muotoon b ∘ e = c ∘ e. Määritelmän ehdon 3 nojalla yhtälö sievenee edelleen muotoon b = c.
- Alkion a ∘ b käänteisalkio on b⁻¹ ∘ a⁻¹.
- Olkoon alkion a ∘ b käänteisalkio x. Määritelmän ehdon 4 nojalla on (a ∘ b) ∘ x = e. Operoidaan yhtälöön puolittain vasemmalta alkiolla a⁻¹, jolloin saadaan yhtälö a⁻¹ ∘ ((a ∘ b) ∘ x) = a⁻¹ ∘ e, joka on määritelmän ehdon 2 nojalla (a⁻¹ ∘ (a ∘ b)) ∘ x = a⁻¹ ∘ e ja edelleen ((a⁻¹ ∘ a) ∘ b) ∘ x = a⁻¹ ∘ e. Koska määritelmän ehdon 4 mukaan a⁻¹ ∘ a = e, yhtälö sievenee muotoon (e ∘ b) ∘ x = a⁻¹ ∘ e. Määritelmän ehdon 3 nojalla yhtälö sievenee edelleen muotoon b ∘ x = a⁻¹. Operoidaan yhtälöön puolittain vasemmalta alkiolla b⁻¹, jolloin saadaan yhtälö b⁻¹ ∘ (b ∘ x) = b⁻¹ ∘ a⁻¹, joka on määritelmän ehdon 2 nojalla (b⁻¹ ∘ b) ∘ x = b⁻¹ ∘ a⁻¹. Koska määritelmän ehdon 3 nojalla on b⁻¹ ∘ b = e, yhtälö sievenee muotoon e ∘ x = b⁻¹ ∘ a⁻¹. Määritelmän ehdon 3 nojalla yhtälö sievenee edelleen muotoon x = b⁻¹ ∘ a⁻¹. Alkion a ∘ b käänteisalkio on siis b⁻¹ ∘ a⁻¹.
[muokkaa] Potenssi
Ryhmän alkion potenssi määritellään kuten alkeisaritmetiikassa:
- a⁰ = 1
- aⁿ = a ∘ a ∘ ... ∘ a (n kpl), n ∈ ℕ, n ≥ 1
- a⁻ⁿ = (aⁿ)⁻¹, n ∈ ℕ, n ≥ 1.
Potenssilla on seuraavat laskusäännöt (m ∈ ℕ, n ∈ ℕ, m ≥ 1, n ≥ 1):
.
[muokkaa] Esimerkkejä
Esimerkki 1. Joukko G = {1, -1, i, -i} varustettuna kompleksilukujen kertolaskulla on ryhmä.
Näytetään, että joukko G täyttää kaikki ryhmän määritelmän ehdot 1–4:
Ehto 1. Joukon kahden alkion tulo on joukon alkio, mikä nähdään seuraavasta kertolaskutaulusta:
| 1 | -1 | i | -i | |
| 1 | 1 | -1 | i | -i |
| -1 | -1 | 1 | -i | i |
| i | i | -i | -1 | 1 |
| -i | -i | i | 1 | -1 |
Ehto 2. Kompleksilukujen kertolasku on liitännäinen.
Ehto 3. Kompleksilukujen kertolaskun neutraalialkio on 1, ja se kuuluu joukkoon G. Siispä on 1 · 1 = 1, 1 · (-1) = -1, 1 · i = i ja 1 · (-i) = -i.
Ehto 4. Joukon alkioiden käänteisalkiot ovat 1⁻¹ = 1, (-1)⁻¹ = -1, i⁻¹ = -i ja (-i)⁻¹ = i, ja ne kuuluvat joukkoon G.
Joukko G siis täyttää kaikki ryhmän määritelmän ehdot 1–4, joten G on ryhmä, niin sanottu Kleinin neliryhmä.
Esimerkki 2. Kokonaislukujen joukko on Abelin ryhmä binäärioperaattorin + suhteen (yksikköalkio on luku 0 ja käänteisalkio on kunkin luvun vastaluku.) Kokonaisluvut eivät kuitenkaan muodosta ryhmää kertolaskun suhteen, sillä vastalukuehto ei toteudu.
Esimerkki 3. Imaginaarilukujen joukko muodostaa niin ikään ryhmän yhteenlaskun suhteen. Ryhmän muodostamiseen kertolaskun suhteen on useita esteitä: ryhmä ei ole suljettu, ykkösalkio ei kuulu ryhmään (se olisi 1, mutta 1 ei ole imaginaariluku).
Esimerkki 4. Neliömatriisit, joiden determinantti on 1, muodostavat matriisikertolaskun suhteen ryhmän, joka ei ole kommutatiivinen.
[muokkaa] Katso myös
- aliryhmä
- Cayleyn lause
- Nielsenin-Schreierin lause
- symmetrinen ryhmä
- syklinen ryhmä
