Grupa (matematika)

Z Wikipédie

Grupa je jednou zo základných algebraických štruktúr. V sekcii „Definícia“ možno nájsť formálnu definíciu grupy. Sekcia „Základné vysvetlenie“ podáva informácie o motivácii k štúdiu grúp aj pre laika.

Obsah

1 Základné vysvetlenie
- 1.1 Základné príklady
2 Definícia
3 Ďalšie príklady

[úprava] Základné vysvetlenie

Všimnime si napríklad množinu celých čísel, teda napríklad čísla ako -10, -4, 0, 1, 2, 65, atď. Na tejto množine je definovaná operácia sčítanie. Zaoberajme sa ďalej len operáciou sčítanie a množinou celých čísiel. Všimnime si pre štandartné sčítanie niekoľko vlastností:

Sčítanie je na celých číslach asociatívna operácia. Teda napríklad platí, že 3 + (5 + 7) = (3 + 5) + 7. Poloha zátvoriek teda pre asociatívne operácie, ako napríklad „bežné“ sčítanie nie je dôležitá.
Ďalej pre operáciu sčítanie a celé čísla platí, že vzhľadom na danú operáciu existuje neutrálny prvok, ktorým je pri „bežnom sčítaní“ číslo 0. Inak povedané, neutrálny prvok je prvok, pre ktorý platí: x + 0 = x = 0 + x, teda neutrálny prvok „nezmení hodnotu“ pôvodného čísla.
Ku každému celému číslu existuje opačné číslo. Napríklad opačné číslo k číslu 689 je pre bežné sčítanie, ktorým sa zaoberáme, číslo -689. Pre číslo(označme ho x) a k nemu opačné číslo(označme ho y) platí: x + y = neutrlálny prvok. Teda, ak číslo sčítame s opačným číslom, dostávame neutrálny prvok (v tomto prípade 0).
Poznámka: y sa v algebre, aby bolo jasné ku ktorému číslu to je opačné číslo zvykne označovať značkou x^-1. Neoznačujeme tým však bežnú operáciu mocnina.

Tieto 3 vlastnosti, teda asociatívnosť, existencia neutrálneho prvku a inverzných prvkov sú v matematike veľmi časté. Preto je užitočné študovať ich spoločné vlastnosti a vzťahy s inými štuktúrami. Pre podobné dvojice množín a operácií sa prijal spoločný názov grupa.

[úprava] Základné príklady

Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti spĺňajú.
Množina {... 1/625, 1/125, 1/25, 1/5, 1, 5, 25, 125, 625, ...} a operácia násobenia tieto vlastnosti spĺňajú (číslo 1 je neutrálny prvok a napríklad k číslu 125 existuje opačné číslo: 1/125).
Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje neutrálny prvok.
Množina {... ,-12, -9, -6, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje opačné číslo k číslu 3.

[úprava] Definícia

Nasledujúca definícia formalizuje závery zo sekcie „Základné vysvetlenie“

Grupa (G, $\circ$ ) je usporiadaná dvojica, kde G je množina a $\circ$ je binárna operácia na tejto množine, pričom

operácia $\circ$ je na G asociatívna, t.j. $\forall a,b,c \in G: a \circ (b\circ c) = (a\circ b)\circ c$ ,
existuje tzv. neutrálny prvok $e \in G$ s vlastnosťou $\forall a \in G: a\circ e=a=e\circ a$ ,
ku každému prvku $a\in G$ existuje inverzný prvok $b\in G$ taký, že $a\circ b = e = b \circ a$ .

Ak je binárna operácia $\circ$ navyše komutatívna, tak hovoríme o komutatívnej alebo abelovskej grupe.

[úprava] Ďalšie príklady

množina celých čísel $\mathbb{Z}$ s klasickou operáciou sčítania + tvorí grupu $(\mathbb{Z},+)$ , ktorú nazývame aj aditívna grupa celých čísel,
množina racionálnych čísel okrem čísla 0 $\mathbb{Q}$ s k operáciou násobenia $\cdot$ tvorí grupu $(\mathbb{Q}\setminus\{0\},\cdot)$ , ktorej sa hovorí aj multiplikatívna grupa racionálnych čísel,
dôležitou triedou grúp sú predovšetkým v informatike v teórii šifrovania tzv. grupy zvyškových tried $\mathbb{Z}_n$ s operáciou $\oplus$ a $\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}$ s operáciou $\otimes$ (ak n je prvočíslo),
ústrednú úlohu pri štúdiu grúp hrá grupa všetkých bijekcií nejakej množiny na tú istú množinu s operáciou skladania zobrazení označovaná ako grupa transformácií a jej špeciálne varianty grupa permutácií a alternujúca grupa (Cayleyho veta vraví, že každá grupa je izomorfná s nejakou grupou transformácií),
všetky permutácie n prvkovej množiny s operáciou skladania permutácii vytvárajú grupu, ktorá sa nazýva symetrická grupa rádu n a má n! (n faktoriál) prvkov.