Amplitudenmodulation

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Amplitudenmodulation (AM) ist ein Modulationsverfahren. Dabei wird die Amplitude einer hochfrequenten Trägerwelle abhängig vom zu übertragenden, niederfrequenten (modulierenden) Nutz-Signal verändert.

Niederfrequente Nutzsignale wie Sprache oder Musik können häufig nicht direkt über gewünschte Übertragungsmedien wie beispielsweise einen Funkkanal übertragen werden. Zur Übertragung muss das Nutzsignal im Frequenzbereich verschoben werden, was durch die in diesem Artikel beschriebene Amplitudenmodulation bewerkstelligt werden kann. Durch das Verschieben in unterschiedliche Frequenzbereiche können mehrere Nutzsignale gleichzeitig und ohne gegenseitige Störung übertragen werden.

Gegenüberstellung von Amplituden- und Frequenzmodulation

Inhaltsverzeichnis

1 Anwendung der Amplitudenmodulation
2 Modulation
3 Demodulation
- 3.1 Demodulation mit Spitzenwertgleichrichter
- 3.2 Multiplikative Demodulation
4 Kurzbezeichnungen
5 Siehe auch
6 Weblinks

[Bearbeiten] Anwendung der Amplitudenmodulation

Amplitudenmodulation wird verwendet bei:

Rundfunk auf den Frequenzbändern Langwelle, Mittelwelle, Kurzwelle
Fernsehen, abhängig von der verwendeten Fernsehnorm, siehe Fernsehsignal
CB-Funk
Amateurfunk (meist in Form der Einseitenbandmodulation)
Flugnavigation (ADF)
Flugfunk (zivil - VHF 118 bis 137 MHz, militär - UHF)

Die AM wurde zu Beginn der Rundfunktechnik eingesetzt, weil sich derartig modulierte Signale sehr einfach erzeugen und demodulieren lassen. Ebenfalls zeichnet sie sich durch einen geringen Anspruch an Bandbreite aus. So belegt bei der üblicherweise verwendeten Rundfunk-AM jeder Sender die Bandbreite 2*4,5kHz=9kHz. Diesen Vorteilen stehen etliche Nachteile wie Störanfälligkeit und schlechter Wirkungsgrad gegenüber, so dass in vielen Anwendungen nun abgewandelte Modulationsverfahren genutzt werden.

[Bearbeiten] Modulation

[Bearbeiten] Mathematische Beschreibung/Herleitung

Nachfolgend werden sowohl f als auch $ω$ (Kreisfrequenz) mit Frequenz bezeichnet. Dies ist möglich, da beide über einen konstanten Faktor $\omega=2 \cdot \pi \cdot f$ zusammenhängen. Trotzdem muss man beachten, dass beide immer noch zwei verschiedene Größen sind. Das wird über die Einheiten ausgedrückt, wenn Zahlen auftreten, [f] = Hz und $[ω] = s - 1$ )

Abb. 1: Beispiel zur Amplitudenmodulation(m=0,5)

Man erhält ein moduliertes Signal, wenn man das Nutzsignal

$u_{\rm NF}=\hat U_{\rm NF}\cos{(\omega t)}$ (der Nullphasenwinkel wird als Null angenommen)

mit einer hochfrequenten Trägerschwingung $\displaystyle \cos{(\Omega t)}$ mit $\ \Omega \gg \omega$ multipliziert und anschließend zum Trägersignal

$u_{\rm T}=\hat U_{\rm T}\cos{(\Omega t)}$

hinzuaddiert

$u_{\rm AM}=\hat U_{\rm T}\cos{(\Omega t)}+\hat U_{\rm NF}\cos{(\omega t)}\cdot \cos{(\Omega t)}$

$u_{\rm AM}=(\hat U_{\rm T}+\hat U_{\rm NF}\cos{(\omega t)})\cdot \cos{(\Omega t)}$

Mit Hilfe des Additionstheorems

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos {(\alpha -\beta )}+\cos{(\alpha +\beta)})$

erhält man:

$u_{\rm AM}=\hat U_{\rm T}\cos{\Omega t}+\frac{\hat U_{\rm NF}}{2}\left(\cos{(\Omega -\omega )t}+\cos{(\Omega +\omega )t}\right)$

Aus der Formel kann man leicht das entstandene Frequenzspektrum ablesen. Das modulierte Signal enthält die Trägerfrequenz $Ω$ mit der Amplitude $\hat U_{\rm T}$ und die beiden Seitenfrequenzen $Ω - ω$ und $Ω + ω$ mit jeweils der Amplitude $\frac{\hat U_{\rm NF}}{2}$ . Diese einfachste Modulationsart der AM nennt man deshalb auch Zweiseitenbandmodulation (ZSB oder englisch DSB) mit Träger. Hier steckt die Information in den Seitenbändern, während der Träger selbst bei der Übertragung nur unnötigen Ballast darstellt. Wenn sich die Amplitude $\hat U_{\rm NF}$ der modulierenden Schwingung ändert, sinkt auch die Amplitude der Seitenfrequenzen. Wenn sich die Frequenz des modulierenden Signals ändert, ändern sich auch die Frequenzen der Seitenbänder.

In Abbildung 1 kann man unten neben dem modulierten Signal auch noch die beiden sogenannten Einhüllenden sehen. Diese dienen nur der Veranschaulichung, weil ihr Verlauf gleich dem modulierenden Nutzsignal ist. In Abbildung 2 sieht man die drei Spektren (von links) des modulierenden Nutzsignals, des unmodulierten Trägers und des modulierten Signals. Wie man erkennen kann, sind die Amplituden der informationstragenden Seitenbänder wesentlich kleiner als die des Trägers.

Abb. 2: Spektrum der Amplitudenmodulation(m = 0,5)

[Bearbeiten] Modulationsgrad

Abb. 3: Modulationsgrad und Modulationstrapez in drei Varianten

Mit dem Modulationsgrad m wird angegeben, wie stark das zu modulierende Nutzsignal die Amplitude des modulierten Signals beeinflusst.

$m = \frac{\hat U_{\rm NF}}{\hat U_{\rm T}} = \frac{U_{\rm AM_{\rm max}}-\hat U_{\rm T}}{\hat U_{\rm T}} = \frac{U_{\rm AM_{\rm max}}-U_{\rm AM_{\rm min}}}{U_{\rm AM_{\rm max}}+U_{\rm AM_{\rm min}}}$

Mit m ergibt sich für $u AM$

$u_{\rm AM}=\hat U_{\rm T} \left(\cos{(\Omega t)}+\frac{m}{2}(\cos{(\Omega -\omega)t}+\cos{(\Omega +\omega )t})\right)$

Er muss größer als 0 und kleiner gleich 1 sein, um eine sinnvolle Modulation zu gewährleisten. Bei Null findet keine Modulation statt, es wird lediglich der unmodulierte Träger übertragen. Bei m > 1 findet eine Übermodulation statt, das entstandene Signal kann nicht mehr ohne Verzerrungen demoduliert werden. Deshalb wird oft die Amplitude des modulierenden Signals vorher begrenzt, um eine zu große Aussteuerung zu vermeiden.

[Bearbeiten] Modulationstrapez

Beim Modulationstrapez wird die Amplitude des modulierten Signals (y-Achse) über der Amplitude des modulierenden Signals (x-Achse) aufgetragen. Bei sinusförmigen Signalen entsteht dabei ein Trapez. Je nachdem wie groß m ist, kann es wie ein normales Trapez (0 < m < 1) aussehen, wie ein Dreieck (m = 1) oder eine Fischform (m > 1) (siehe Abbildung 3). Aus dem Trapez lässt sich auch leicht die Formel für m bestimmen.

$m=\frac{B-A}{B+A}$

Wenn die Phase nicht konstant bleibt oder kein reines Sinussignal vorliegt, treten Verzerrungen des Modulationstrapezes auf oder es kann sich zu einem Zylinder wölben.

[Bearbeiten] Zeigerdarstellung

In der Zeigerdarstellung werden die Modulationsanteile als Zeiger abgetragen. Auf dem starren Träger stehen die beiden Zeiger der Seitenfrequenzen und drehen sich mit $ω$ in jeweils entgegengesetzte Richtung. Wie man in den Abbildungen 4 und 5 sehen kann, sind die x-Komponenten der Zeiger der Seitenfrequenzen stets entgegengesetzt, so dass sie sich bei der Addition aufheben. Es bleibt nur noch die Summe der y-Komponenten, die zur Trägeramplitude hinzuaddiert (wenn negativ subtrahiert) wird. So ist die resultierende momentane Amplitude des modulierten Signals immer in gleiche Richtung (in Phase) mit der Trägeramplitude. Das ist charakteristisch für die Zweiseitenbandmodulation.

Abb. 4: Zeigerdarstellung der Amplitudenmodulation

Abb. 5: Zusammenhang zwischen Amplitude von Umod und Zeigerdarstellung

[Bearbeiten] Bandbreite

Das Beispiel war sehr einfach, um grundlegend die Modulation verstehen zu können. Praktisch wird dabei eine niedrige Frequenz, also zum Beispiel ein einziger Ton konstanter Stärke auf den Träger moduliert. In der Realität moduliert man wesentlich mehr aufeinanderfolgende Frequenzen auf den Träger. Diese Menge an Frequenzen nennt man Frequenzband $f B$ und somit die Bereiche, die nach der Modulation neben dem Träger entstehen, Seitenbänder. Es gibt ein oberes (OSB) und ein unteres (USB) Seitenband. Zusammen bilden sie die Bandbreite B.

$B = 2 \cdot f_{\rm max}$

Abb. 7: Amplitudenmodulation im Spektrum

Beim Rundfunk wird im AM-Bereich ein standardisiertes Frequenzband von 4,5 kHz Breite (von 0 Hz bis 4,5 kHz) übertragen, was zu einer Bandbreite B = 9 kHz führt.

[Bearbeiten] Leistungsbetrachtung

Die eigentliche Nutzleistung steckt in den Seitenbändern, wobei in beiden Seitenbändern die gleiche Information steckt, was folglich bedeutet, dass ein Seitenband völlig überflüssig ist, wie auch der Träger. Daraus ergibt sich ein Wirkungsgrad $η$ .

$\eta =\frac{P_{\rm SB}}{P_{\rm ges}}=\frac{m^2}{4+2m^2}$

mit

$P_{\rm ges} = P_T+2\ P_{\rm SB}$

$P_{\rm T} =\frac{{\hat U_{\rm T}}^2}{2R}$

$P_{\rm SB} = \frac{{\hat U_{\rm NF}}^2}{8R}$

R ist ein beliebiger Widerstand, auf den die Leistung bezogen wird. Je nachdem, wie nun m gewählt wird, beträgt $η$ zwischen 0 % (m = 0) und 17 % (m = 1).

[Bearbeiten] Praktische Realisierung der Modulation

[Bearbeiten] Ausnutzung der nichtlinearen Kennlinie eines Bauteils

Beim Diodenmodulator ist der erste Schritt zur Erzeugung eines AM-Signals die Addition des Trägersignals u_T mit dem Informationssignal u_i, auch Überlagerung oder Interferenz genannt (Abb. 8). Wie man sieht, braucht man dazu nur 2 Generatoren (HF-Oszillator und einen NF-Verstärker), die in Reihe geschaltet sind. Der zweite Schritt ist, u_T+i an ein Bauelement mit gekrümmter Kennlinie zu geben.

Abb. 8: Addition beziehungsweise Überlagerung von Trägersignal u_T und Informationssignal u_i zu u_T+i

Einen einfachen Diodenmodulator zeigt dazu die Schaltung in Abb. 9, wo die Wechselspannung u_T+i an die Anode einer Diode gegeben wird. Um später ein einwandfreies AM-Signal zu erhalten, muss vorher der Arbeitspunkt der Diode mit R1 so eingestellt werden, dass die Diode eben noch leitfähig ist (Schwellspannung). Das bedeutet, dass der Arbeitspunkt am unteren Ende der Kennlinie liegt. Es fließt daher ein geringer Diodenstrom I_D. C1 dient zur Abblockung der Diodenvorspannung, damit diese nicht rückwärts in den HF-Generator fließt. Über C1 liegt die Spannung u_T+i an der Diode an, wodurch der Arbeitspunkt im Takt von u_T+i an der gekrümmten Kennlinie hoch- und heruntergeschoben wird. Durch die Änderung des Arbeitspunktes ändert sich auch I_D. Man kann sagen I_D ist die Funktion von u_T+i, wobei die Funktion durch die Kennlinie der Diode dargestellt wird (I_D=f(u_T+i)). I_D erzeugt dabei einen Spannungsabfall an R2 (u_R2), welcher proportional zu I_D ist. Das Ergebnis der Verzerrung mit dem neuen Bezugspunkt, gekennzeichnet als blauer Sinus, zeigt das u_R2-Diagramm. Daraus ist zu erkennen, dass u_R2 einen Gleichspannungsanteil besitzt. Dieser kommt daher, dass durch die Arbeitspunkteinstellung immer ein geringer Diodengleichstrom I_D fließt, welcher einen Gleichspannungsabfall an R2 erzeugt. Der Gleichspannungsabfall addiert sich somit mit u_R2. Um ein AM-Signal zu erhalten, muss u_R2 noch auf einen Bandpass gegeben werden, welcher die Gleichspannung und die durch die Modulation hervorgerufenen unerwünschten Frequenzanteile abblockt. Das u_AM-Diagramm zeigt das fertige AM-Signal. Rot gekennzeichnet ist das Informationssignal u_i, welches die Amplitude das Trägers beeinflusst. Das Informationssignal ist jedoch zweimal vorhanden. Einmal beeinflusst es die Amplitude der positiven Halbwellen des Trägersignals und einmal die negativen. Vergleicht man das u_T-Diagramm in Abb. 8 mit dem AM-Signal in Abb 9, so stellt man fest, dass die Trägeramplitude während der positiven Amplitude von u_i teilweise größer ist, als beim Träger ohne Modulation.

Abb. 9: Einfacher Diodenmodulator

[Bearbeiten] Multiplikative Modulation

Das Nutzsignal ist in der Regel ein Frequenzgemisch (z.B. Sprache). Abb. 10 stellt beispielsweise als NF-Quelle ein Mikrofon dar. Zur Veranschaulichung wird in diesem Beispiel (entgegen Abb. 10) nur eine Frequenz verwendet f_i = 10 kHz. (Genau genommen enthält ein Dauerton von 10 kHz keine Information mehr). Als Trägersignal wird hier beispielsweise eine Frequenz im Langwellenbereich (LW) von f_T = 230 kHz verwendet. Die Trägerfrequenz selber wird mit Hilfe eines HF-Generators oder auch Oszillators erzeugt.

Abb. 10: Sender mit Amplitudenmodulation

Die eigentliche Modulation geschieht im Modulator. Im Idealfall wird das Nutzsignal mit dem Träger multipliziert (nicht addiert). Im Realfall wird dem Nutzsignal noch ein sogenannter Gleichanteil U₀ (und Verzerrungen aufgrund Nichtlinearitäten) hinzugefügt. Elektronisch kann man eine 2-Quadranten-Multiplikation beispielsweise mit einem Differenzverstärker realisieren. (Beim Differenzverstärker-Beispiel bekommt Transistor Q₁ HF und die Stromquelle Q₃ bekommt NF).

Die Modulationsspannung U_m ergibt sich somit zu:

$U_m = U(f_T) \cdot ( U(f_i) + U_0 )$

Wenn U₀ = 0 ist, kann U_i < 0 den Träger invertieren (Modulation m > 1 siehe Kehrlage). Abgesehen davon funktioniert ein Differenzverstärker dann nicht (Betrieb nur in 2 Quadranten möglich). Also ist U₀ so zu wählen, dass mindestens U₀ > U_{i max}) ist.

Setzt man nun entsprechend dem Beispiel die Frequenzen ein (Phase = 0 und U₀ = 0) erhält man im Zeitbereich:

$U_m = U_{0T} \cdot \sin(f_T) \cdot U_{0i} \cdot \sin(f_i)$

$U_m = \frac{1}{2} \cdot U_{0T} \cdot U_{0i} \cdot ( \cos(f_T - f_i) - \cos(f_T + f_i) )$

Da die Darstellung im Zeitbereich trotz Vereinfachungen recht schnell unhandlich wird, drückt man die Modulation meistens im Frequenzbereich aus. Die dazu nötige Transformationsregel ist die Fouriertransformation. Die dazu inverse Fouriertransformation führt wieder in den Zeitbereich.

Wesentlich ist dabei, dass aus einer Multiplikation im Zeitbereich eine Addition im Frequenzbereich wird:

$f_m = f_T \pm f_i \rightarrow$ 220 kHz und -240 kHz

(Phase über Vorzeichen dargestellt und Amplitude weggelassen)

Dieses Signal gelangt hier an die Antenne und wird als Elektromagnetische Welle zum Empfänger übertragen.

Eine weitere, heute nicht mehr gebräuchliche Möglichkeit zur Erstellung eines modulierten Signals ist der Diodenmodulator. Die Multiplikation im Zeitbereich geschieht näherungsweise durch die nichtlineare Durchlasskennlinie der Diode.

[Bearbeiten] Weitere Arten der Amplitudenmodulation

Bandbreiten- oder leistungsbegrenzende Modulationsvarianten

Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Träger (DSSC, double side band supressed carrier)
Einseitenbandmodulation (SSB, single side band)
Restseitenbandmodulation

Verfahren mit geringer Anfälligkeit gegen Störungen oder größerer Nutzung des Spektrums:

[Bearbeiten] Demodulation

[Bearbeiten] Demodulation mit Spitzenwertgleichrichter

Die einfachste Art der Demodulation kann als Gleichrichtung mit einer Diode mit anschließender Glättung erfolgen (Hüllkurvendemodulator). Siehe auch: Detektorempfänger.

[Bearbeiten] Multiplikative Demodulation

Wie bereits anfangs erwähnt, wird zunächst mit einem auf die Trägerfrequenz f_T abstimmbaren leicht gedämpften Schwingkreis eine schmalbandige Verstärkung (Bandpass) des gewünschten Frequenzbereichs (f_T - f_{i max} bis f_T + f_{i max}) durchgeführt. Danach wird, je nach zur Verfügung stehender Technologie die Modulation zu niedrigeren Frequenzen in n Stufen durchgeführt. Also je Stufe ein Modulator gefolgt von einem Tiefpass. Der Modulator selbst ist wie beim Sender ein Multiplizierer. In diesem Beispiel gibt es zur Vereinfachung nur einen (n=1) Modulator. Die für den Modulator erforderliche Trägerfrequenz im Empfänger f_Te sollte möglichst gut der Trägerfrequenz des Senders f_T entsprechen, da ansonsten eine Schwebung entsteht. Die Nachregelung von f_Te erfolgt heutzutage über eine PLL (Phase locked loop).

Ergebnis des Sender: f_m1 = 220 kHz und f_m2 = -240 kHz; f_T = 230 kHz
(Phase über Vorzeichen dargestellt)

Im Empfänger unter Voraussetzung f_T = f_Te:

$f_0 = f_{m1} \pm f_{Te};$ und $f_0 = f_{m2} \pm f_{Te}$ (Phase und Amplitude weggelassen)

woraus sich mit obigen Angaben die Frequenzen ergeben: -10 kHz; 450 kHz; -10 kHz; -470 kHz

Alle Frequenzen oberhalb von 10 kHz lassen sich nun einfach über einen Tiefpass ausfiltern.

Im Realfall ist es kaum möglich, die Trägerfrequenz des Senders hinreichend genau zu treffen. Um eine Vorstellung von der erforderlichen Genauigkeit zu bekommen, hier ein Beispiel: Eine Schwebung von 50 Hz entspricht einer Frequenzabweichung von 0,02% bezogen auf 230 kHz. Um möglichst vielen Problemen der Analogtechnik (muss justiert werden, elektronische Bauteile altern) aus dem Weg zu gehen und Platzbedarf zu minimieren, wird zunehmend auf digitale Signalverarbeitung gesetzt. Im Prinzip wird mit einem schnellen Analog-Digital-Umsetzer direkt das Empfangssignal in Sinus- und Cosinus-Anteil digitalisiert. Der Rest wird rechnerisch vom Signalprozessor geleistet.