Regla de la cadena

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En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Tabla de contenidos

1 Descripción de la Regla
- 1.1 Descripción algebraica
- 1.2 Notación de Leibniz
2 Ejemplos de aplicación
- 2.1 Ejemplo Conceptual
- 2.2 Ejemplo Algebraico
3 Derivadas de Orden Superior
4 Véase también

[editar] Descripción de la Regla

En términos intuitivos, si una variable, y, depende de una segunda variable, u, que a la vez depende de una tercera variable, x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

[editar] Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si $g\,$ es diferenciable en $x\,$ y $f\,$ es una función diferenciable en $g(x)\,$ , entonces la función compuesta $(f \circ g)(x) := f(g(x))$ es diferenciable en $x\,$ y

$\frac {df} {dx} = \frac {d} {dx} f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x).$

[editar] Notación de Leibniz

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

$\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \frac {dg}{dx}$

donde $\frac {df} {dg}$ indica que f depende de g como si ésta fuera una variable.

[editar] Ejemplos de aplicación

[editar] Ejemplo Conceptual

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este calculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

[editar] Ejemplo Algebraico

Por ejemplo si $y = f (u)$ es una función derivable de $u$ y si además $u = g (x)$ es una función derivable de $x$ entonces $y = f (g (x))$ es una función derivable con:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

o también

$\frac{d}{dx} [f(g(x))]=f '(g(x))\cdot g'(x)$

Ejemplo:

Si tenemos una función del tipo: $f (x) = (x 2 + 3) 3$ aplicamos regla de la cadena y el resultado sería:

f'(x) = 3(x 2 + 3) 2 * 2 x

Como vemos, en la practica es mucho más fácil entender el concepto y con práctica lo haremos de memoria sin darnos cuenta que utilizamos la regla de la cadena.

[editar] Derivadas de Orden Superior

Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. algunas de ellas son:

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$

$\frac{d^2 f}{d x^2} = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}$

$\frac{d^3 f}{d x^3} = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}$

$\frac{d^4 f}{d x^4} =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\} + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}$