กฎลูกโซ่

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส

อนุพันธ์

กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

ปริพันธ์

ในวิชาแคลคูลัส กฏลูกโซ่ คือสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต

เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร y เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร u ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร x แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ u คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ u เทียบกับ x

สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิจะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6 °F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6 °F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3 °F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่

ในทางพีชคณิต กฎลูกโซ่ (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และฟังก์ชัน g หาอนุพันธ์ได้ที่ x คือเราจะได้ $f \circ g = f(g(x))$ ดังนั้น

$\frac {df} {dx} = \frac {d} {dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x).$

นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:

$\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \frac {dg}{dx}$

เมื่อ $\frac {df} {dg}$ ระบุว่า f เปลี่ยนแปลงตาม g เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง.

ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า

สารบัญ

1 The general power rule
- 1.1 Example I
- 1.2 Example II
2 กฎลูกโซ่สำหรับหลายตัวแปร
3 บทพิสูจน์กฎลูกโซ่
4 กฎลูกโซ่พื้นฐาน
5 เทนเซอร์กับกฎลูกโซ่

[แก้] The general power rule

กฎเลขยกกำลังทั่วไปสามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้

[แก้] Example I

พิจารณา $f (x) = (x 2 + 1) 3$ . $f (x)$ เทียบได้กับ $h (g (x))$ โดยที่ $g (x) = x 2 + 1$ และ $h (x) = x 3$ ดังนั้น

$f'(x)$	$= 3(x 2 + 1) 2 (2 x)$
	$= 6 x (x 2 + 1) 2$

[แก้] Example II

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

f (x) = sin(x 2),

เราสามารถเขียน $f (x) = h (g (x))$ ด้วย $h (x) = sin x$ และ $g (x) = x 2$ จากกฎลูกโซ่ จะได้

f'(x) = 2 x cos(x 2)

เนื่องจาก $h'(g (x)) = cos(x 2)$ และ $g'(x) = 2 x$

[แก้] กฎลูกโซ่สำหรับหลายตัวแปร

กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน $f (u (x, y), v (x, y))$ โดยที่

u (x, y) = 3 x + y 2

และ

v (x, y) = sin(x y)

ดังนั้น

${\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial f \over \partial v}{\partial v \over \partial x}=3 + \cos(xy)y$

[แก้] บทพิสูจน์กฎลูกโซ่

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และให้ x เป็นจำนวนที่ f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้

$g(x+\delta)-g(x)= \delta g'(x) + \epsilon(\delta) \,$ ซึ่ง $\frac{\epsilon(\delta)}{\delta} \to 0 \,$ ขณะที่ $\delta\to 0.$

ในทำนองเดียวกัน

$f(g(x)+\alpha) - f(g(x)) = \alpha f'(g(x)) + \eta(\alpha) \,$ ซึ่ง $\frac{\eta(\alpha)}{\alpha} \to 0 \,$ ขณะที่ $\alpha\to 0. \,$

จะได้

$f(g(x+\delta))-f(g(x))\,$	$= f(g(x) + \delta g'(x)+\epsilon(\delta)) - f(g(x)) \,$
	$= \alpha_\delta f'(g(x)) + \eta(\alpha_\delta) \,$

ซึ่ง $\alpha_\delta = \delta g'(x) + \epsilon(\delta) \,$ จะเห็นว่าขณะที่ $\delta\to 0$ นั้น $\frac{\alpha_\delta}{\delta}\to g'(x)$ และ $\frac{\eta(\alpha_\delta)}{\delta}\to 0$ ดังนั้น

$\frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta} \to g'(x)f'(g(x))$ ขณะที่ $\delta \to 0$

[แก้] กฎลูกโซ่พื้นฐาน

กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า E F และ G เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิดด้วย) และ f : E → F และ g : F → G เป็นฟังก์ชัน และถ้า x เป็นสมาชิกของ E ซึ่ง f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ f(x) แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์) ของฟังก์ชันคอมโพสิต g o f ที่ x จะเป็นดังนี้

$\mbox{D}_x\left(g \circ f\right) = \mbox{D}_{f\left(x\right)}\left(g\right) \circ \mbox{D}_x\left(f\right).$

สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์

การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ M N และ P เป็นแมนิโฟลด์ C^k (หรือบานาคแมนิโฟลด์) และให้

f : M → N และ g : N → P

เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ f แทนด้วย df จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ M ไปยังปมสัมผัสของ N และสามารถเขียนแทนด้วย

$\mbox{d}\left(g \circ f\right) = \mbox{d}g \circ \mbox{d}f.$

ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์บน Category ของแมนิโฟลด์ C^∞ โดยมีการแปลง C^∞ เป็นสัณฐาน

[แก้] เทนเซอร์กับกฎลูกโซ่

ดู สนามเทนเซอร์ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับบทบาทพื้นฐานของกฎลูกโซ่ในธรรมชาติทางเรขาคณิตของเทนเซอร์

ดึงข้อมูลจาก "http://th.wikipedia.org../../../%E0%B8%81/%E0%B8%8E/%E0%B8%A5/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%A5%E0%B8%B9%E0%B8%81%E0%B9%82%E0%B8%8B%E0%B9%88.html".

หมวดหมู่: แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์