Đa thức

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, đa thức trên một vành (hoặc trường) K là một biểu thức dưới dạng tổng đại số của các đơn thức. Mỗi đơn thức là tích của một phần tử (được gọi là hệ tử hoặc hệ số) thuộc K với các lũy thừa tự nhiên của các biến.

Trong chương trình giáo dục phổ thông, thường xét các đa thức trên trường số thực, trong những bài toán cụ thể có thể xét các đa thức với hệ số nguyên hoặc hệ số hữu tỷ.

Ví dụ:

2 x² y - 3 y² + 5 y z - 2

là một đa thức, với x, y và z là các biến.

Hàm số biểu diễn bởi một đa thức được gọi là hàm đa thức. Phương trình P = 0 trong đó P là một đa thức được gọi là phương trình đại số.

Mục lục

1 Các khái niệm cơ bản
- 1.1 Đơn thức và đa thức
2 Vành đa thức
- 2.1 Nghiệm của đa thức
- 2.2 Cấu trúc dữ liệu biểu diễn đa thức trong khoa học máy tính
3 Đa thức một biến
4 Đa thức hai biến
5 Hàm bậc hai hai biến
6 Phương trình bậc hai hai ẩn
7 Tham khảo

[sửa] Các khái niệm cơ bản

[sửa] Đơn thức và đa thức

Các biểu thức dạng

$a \cdot x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$

trong đó a thuộc vành (trường) K, x₁,x₂,...,x_m là các biến, các số mũ k_i là số tự nhiên, được gọi là các đơn thức của m biến x₁,x₂,...,x_m với hệ tử (hệ số) trong K. Tổng các số mũ của các biến trong đơn thức được gọi là bậc của đơn thức.

Các đơn thức của m biến có số mữ tương ứng của các biến bằng nhau, chỉ khác nhau phần hệ tử a được gọi là các đơn thức đồng dạng.

Tổng của một số hữu hạn các đơn thức trên vành (trường) K được gọi là đa thức trên vành (trường) K. Bậc cao nhất của các số hạng có mặt trong đa thức được gọi là bậc của đa thức. Như vậy đa thức của m biến là biểu thức dạng

$P(x_1,x_2,...,x_m)= \sum_{i = 0}^{n} a_i \cdot x_1^{k_{i,1}}x_2^{k_{i,2}}...x_m^{k_{i,m}}$

Đa thức trong đó tất cả các số hạng có cùng bậc k được gọi là đa thức đẳng cấp bậc k. Ví dụ: đa thức P(x) = $x 2 y - 2 x y 2$ là đa thức đẳng cấp bậc 3 của hai biến x,y.

[sửa] Vành đa thức

Tập tất cả các đa thức của m biến $P (x 1, x 2,..., x m)$ trên vành K là một vành, ký hiệu là $P [x 1, x 2,..., x m]$ . Vành này được gọi là vành đa thức.

[sửa] Nghiệm của đa thức

Khi thay các các biến $(x 1, x 2,..., x m)$ bằng bộcác giá trị $(c_1,c_2,...,c_m) \in K^m$ và thực hiện các phép toán ta được kết quả là một phần tử trên vành (trường) K, được gọi là giá trị của đa thức tại $(c 1, c 2,..., c m)$ :