משפטי ויירשטראס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

שני המשפטים שהוכיח קארל ויירשטראס על פונקציות ממשיות הם מן המשפטים היסודיים בחשבון האינפיניטסימלי. המשפטים עוסקים בפונקציות רציפות המוגדרות בקטע סגור.

המשפט הראשון קובע שפונקציה רציפה בקטע סגור, חסומה שם. יתרה מזו, לפי המשפט השני הפונקציה מקבלת בקטע את ערכי המינימום והמקסימום שלה. תכונות אלה אינן מתקיימות בפונקציות רציפות מעל קטעים שאינם סגורים. לדוגמה, הפונקציה $\ f(x)=1/x$ רציפה בקטע $\ (0,1)$ , שאינו סגור, ואינה חסומה שם. באופן דומה, הפונקציה $\ g(x)=x$ חסומה בקטע $\ (0,1)$ , אבל החסם העליון שלה, 1, אינו מתקבל באף נקודה בקטע (הוא מתקבל בנקודה $\ x=1$ , מחוץ לקטע).

שני המשפטים חלים גם על פונקציות ממשיות של כמה משתנים: פונקציה רציפה המוגדרת על קבוצה סגורה וחסומה ב- $\ \mathbb{R}^n$ , היא חסומה, וערכי המינימום והמקסימום שלה מתקבלים.

באופן כללי אף יותר, המשפטים נותנים את אחת התכונות היסודיות של פונקציות המוגדרות על קבוצות קומפקטיות: פונקציה ממשית רציפה המוגדרת על קבוצה קומפקטית היא חסומה, ומקבלת שם את ערך המקסימום שלה. כפי שיוסבר בהמשך, הסיבה העקרונית לשתי התכונות היא שתמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קבוצה קומפקטית.

תוכן עניינים

1 הוכחת המשפט הראשון
- 1.1 הוכחה א'
- 1.2 הוכחה ב'
2 הוכחת המשפט השני
- 2.1 הוכחה א'
- 2.2 הוכחה ב'
3 הוכחה כללית

[עריכה] הוכחת המשפט הראשון

נביא כאן הוכחה עבור פונקציה רציפה $\ f$ המוגדרת על קטע סגור $\ A=[a,b]$ ב- $\ \mathbb{R}$ . ההוכחה הכללית עבור קבוצה סגורה וחסומה ב- $\ \mathbb{R}^n$ דומה.

[עריכה] הוכחה א'

נניח שתמונת $\ f$ אינה חסומה. אם כך, לכל $\ n$ קיימת נקודה $\ x_n \in A$ כך ש- $\ f(x_n)>n$ . לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לסדרה שבנינו קיימת תת סדרה מתכנסת, $\ x_{n_k}\rarr x$ . מכיוון ש- $\ A$ סגורה, $\ x\in A$ . אבל $\ f$ רציפה, ולכן $\ f(x) = \lim_{n\rarr\infty} f(x_{n_k}) \geq \lim_{n\rarr\infty} n_k = \infty$ , סתירה.

[עריכה] הוכחה ב'

אפשר להציע הוכחה שונה למשפט הראשון, המתבססת על משפט קנטור לרציפות במידה שווה, ולא על משפט בולצאנו-ויירשטראס. על-פי משפט קנטור לרציפות במידה שווה, $f\,$ רציפה במידה שווה בקטע $[a,b]\,$ .
כלומר עבור $\varepsilon = 1$ קיים $\delta > 0\,$ כך שלכל $x,y \in [a,b]\,$ המקיימים $|x-y|<\delta\,$ מתקיים $|f(x)-f(y)|<1\,$ .
נחלק את הקטע $[a,b]\,$ ל- $n\,$ קטעים שווים שאורכם $\frac{b-a}{n}$ , נדרוש שאורך כל קטע הנ"ל יהיה קטן מ- $\delta\,$ . כלומר $\frac{b-a}{\delta}<n\iff\frac{b-a}{n}<\delta$ .
בכל קטע נבחר נקודה $x_i\,$ אמצע הקטע (כאשר חלוקת הקטעים היא $(i=1,...,i=n)\,$ ). יהי $x\,\in i$ . מכיוון שאורך הקטע $i\,$ קטן מ- $\delta\,$ , לפי הרציפות במידה שווה נסיק ש: מתקיים $|x-x_i|<\delta\,$ ולכן גם $f(x_i)-1<f(x)<f(x_i)+1\iff|f(x)-f(x_i)|<1\,$ לכל $x\,$ בקטע $i\,$ .
נבחר $M=\max\{f(x_1)+1,...,f(x_n)+1\}\,$ ו- $N=\min\{f(x_1)-1,...,f(x_n)-1\}\,$ .
לכן נקבל $N<f(x)<M\,$ לכל $x\,$ בקטע $[a,b]\,$ , כנדרש.

[עריכה] הוכחת המשפט השני

[עריכה] הוכחה א'

לפי המשפט הראשון, הפונקציה חסומה מלעיל ב- $\ A$ . לכן, בשל שלמות הממשיים, קיים לה חסם עליון שנסמן $s=\sup f\left(A\right)$ . מכיוון שזהו חסם עליון, קיימת לכל $\ n\in \mathbb{N}$ נקודה $\ x_n\in A$ כך ש- $\ s-1/n<f(x_n)\leq s$ . שוב לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס קיימת לסדרה שבנינו תת-סדרה מתכנסת, $\ x_{n_k}\rarr x_0$ , שגבולה $\ x_0\isin A$ . אבל $\ f$ רציפה, ולכן $\ f(x_0)=\lim_{k\rarr\infty}f(x_{n_k})=s$ , כדרוש.

[עריכה] הוכחה ב'

אפשר להציע הוכחה שונה מעט למשפט השני, הנסמכת על המשפט הראשון במקום על משפט בולצאנו-ויירשטראס: אם s הוא חסם עליון בקטע אבל אינו מתקבל שם, אז $\ s-f(x)>0$ והפונקציה $\ \frac{1}{s-f(x)}$ חיובית ורציפה בכל הקטע. לפי המשפט הראשון היא חסומה מלעיל, כלומר קיים $\ z>0$ כך שלכל $x\in A$ מתקיים $\frac {1}{s-f(x)} \le z$ . מכך נובע ש- $\ f(x) \le s-1/z<s$ , בסתירה לכך ש- $\ s$ הוא החסם העליון.

[עריכה] הוכחה כללית

לכל שני מרחבים טופולוגיים $\ X,Y$ ופונקציה רציפה $\ f:X\rarr Y$ , התמונה של קבוצה קומפקטית במרחב X היא קומפקטית במרחב Y (להוכחה עיינו בערך קומפקטיות). כעת נניח שהמרחב השני הוא הישר הממשי עם הטופולוגיה המטרית. נזכיר שקבוצה קומפקטית על הישר הממשי היא קבוצה סגורה וחסומה, ולכן היא כוללת את החסם התחתון והחסם העליון של עצמה. מכאן נובע שפונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם מקסימום ומינימום.

כדי לסיים את גזירת המשפטים של ויירשטראס עבור קטע סגור ב- $\ \mathbb{R}^n$ , או עבור קבוצה סגורה וחסומה ב- $\ \mathbb{R}^n$ , נשאר להפעיל את משפט היינה-בורל שלפיו קבוצות כאלה הן קומפקטיות.

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה