משפט קנטור (לרציפות במידה שווה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט קנטור על רציפות במידה שווה קובע כי פונקציה שהיא רציפה על קטע סגור היא רציפה במידה שווה בו.

אפשר להכליל את המשפט עבור קבוצה קומפקטית כלשהי במרחב $\ \mathbb{R}^n$ : פונקציה סקלרית שרציפה על קבוצה קומפקטית היא רציפה בה במידה שווה.

ניתן להבין אינטואיטיבית את המשפט כך: אם אנחנו יודעים כי הפונקציה שלנו "מתנהגת נחמד" בפנים הקטע (כלומר, שינויים קטנים בערך שהיא מקבלת גורמים לשינויים קטנים בלבד בערך שהיא מחזירה) ואם היא לא יכולה "לברוח" בקצוות (כלומר, היא אינה יכולה לשאוף לאינסוף באף אחד מהקצוות, כי היא חייבת "לגעת" בהם), אז נובע מכך שהיא "מתנהגת נחמד" בכל הקטע.

[עריכה] הוכחה

נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה הסדרתית של רציפות: פונקציה $\ f$ היא רציפה בנקודה $\ x_0$ אם ורק אם עבור כל סדרה $\ a_n$ השואפת לנקודה זו, $\ a_n\rarr x_0$ מתקיים $\ f(a_n)\rarr f(x_0)$ . כלומר, ערכי תמונות אברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.

תהא כעת $\ f(x)$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $\ [a,b]$ . נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים $\ \varepsilon_0$ כך שעבור כל $\ n\isin\mathbb{N}$ קיימות שתי נקודות $\ x_n,y_n\isin[a,b]$ כך שמתקיים $\ |x_n-y_n|<\frac{1}{n}$ , אבל $\ |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$ .

נביט כעת בסדרה $\ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty$ . כל אברי הסדרה שייכים לקטע $\ [a,b]$ , כלומר זוהי סדרה חסומה. על פי משפט בולצאנו ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר $\ x_{n_k}\rarr x_0\isin[a,b]$ .

כעת נוכיח כי $\ y_{n_k}\rarr x_0$ - כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת סדרה שלאיבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.

יהא $\ \varepsilon>0$ כלשהו. עלינו למצוא $\ K>0$ כך שלכל $\ k>K$ יתקיים $\ |y_{n_k}-x_0|<\varepsilon$ .

ראשית נשים לב כי מהתכנסות $\ x_{n_k}$ נובע שקיים $\ K_1$ כך שלכל $\ k>K_1$ מתקיים $\ |x_{n_k}-x_0|<\frac{\varepsilon}{2}$ . קיים גם $\ N$ טבעי גדול דיו כך שיתקיים $\ \frac{1}{n}<\frac{\varepsilon}{2}$ לכל $\ n>N$ , וקיים $\ K_2$ כך שלכל $\ k>K_2$ מתקיים $\ n_k>N$ (כלומר, החל ממקום מסוים בתת הסדרה, האינדקסים של מיקום אברי תת הסדרה בתוך הסדרה המקורית עוברים את המספר $\ N$ ).

נבחר $\ K=\max\left\{k_1,k_2\right\}$ ואז לכל $\ k>K$ יתקיים:

$\ |y_{n_k}-x_0|\le|y_{n_k}-x_{n_k}|+|x_{n_k}-x_0|<\frac{1}{n_k}+\frac{\varepsilon}{2}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ .

המעבר הראשון הוא אי שוויון המשולש. המעבר השני נובע מהתכנסות $\ x_{n_k}$ ומהתכונה שעל פיה בנינו את הסדרות $\ x_n,y_n$ . המעבר השלישי נובע מבחירת $\ K$ גדול דיו.

הראינו כי $\ y_{n_k}\rarr x_0$ . כעת נובע, על פי רציפות $\ f$ , שמתקיים: $\ f(x_{n_k})\rarr f(x_0),f(y_{n_k})\rarr f(x_0)$ . מאריתמטיקה של גבולות נקבל $\ f(x_{n_k})- f(y_{n_k})\rarr 0$ , וזו סתירה לכך שמתקיים $\ |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$ לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה.

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%9E/%D7%A9/%D7%A4/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A7%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%A8_%28%D7%9C%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%AA_%D7%91%D7%9E%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%94%29.html

קטגוריה: אנליזה מתמטית

משפט קנטור (לרציפות במידה שווה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] הוכחה

Views

ניווט

קהילה

חיפוש