פונקציה לינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

שלוש פונקציות לינאריות גאומטריות. לאדומה ולכחולה יש שיפוע זהה (m), בעוד לאדומה ולירוקה יש נקודת חיתוך ציר y זהה (n)

פונקציה לינארית או פונקציה קווית היא מושג שמשמש במתמטיקה לתיאור שני מושגים שונים במקצת.

בגאומטריה ואלגברה יסודית, פונקציה לינארית היא פונקציה פולינומית ממעלה ראשונה בצורת: $\!\, f(x)=mx+n$ כאשר m ו- n הם קבועים. צורת הפונקציה הזו – למרות שמה - נקראת "פונקציה לינארית" באופן לא רשמי בלבד מכיוון שאינה מקיימת בהכרח את התנאים ההכרחיים בהגדרה הפורמלית לפונקציה לינארית. לכן, ישנם אנשים המגדירים את הפונקציות הנ"ל כפונקציות אפיניות.

ההגדרה הפורמלית מגדירה פונקציה לינארית במרחב וקטורי כלשהו, כפונקציה שמקיימת את שני התנאים הבאים:

סופרפוזיציה: $\!\, f(x+y)=f(x)+f(y)$
הומוגניות: $\!\, \alpha f(x)=f(\alpha x)$

על פי ההגדרה הזו רק אם $\!\, n=0$ פונקציה אפינית היא גם לינארית. להרחבה בנושא זה ראו טרנספורמציה לינארית.

[עריכה] הפונקציה בגרף

פונקציה לינארית. כפי שרואים השיפוע קבוע

פונקציות לינאריות (לפי ההגדרה הגאומטרית) נכתבות גם בצורה $\!\, y=mx+n$ וממוקמות על גרף Y,X. על הגרף הפונקציה מהווה קו ישר, ומכאן שמה.

הקבוע m מאפיין את שיפוע הפונקציה שהוא יחס השינוי בין הצירים $\!\, \left(m=\frac{dy}{dx}\right)$ . יחס זה קבוע לכל אורך הפונקציה. לדוגמה, פונקציה בעלת שיפוע 2 תעלה שתי נקודות בציר האנכי על כל נקודה בציר האופקי, בפונקציה שבה השיפוע הוא 0.5 היחס הפוך, על כל תזוזה של שתי נקודות בציר האופקי הפונקציה תעלה נקודה אחת. שיפוע יכול להיות גם שלילי. פונקציות בעלות שיפוע שווה הינן מקבילות.
בחשבון האינפיניטסימלי יש שימוש בפונקציה הקוית על מנת לתאר התנהגות פונקציות ממעלה שנייה בכל נקודה על הגרף. באמצעות גזירת הפונקציה הפרבולית מתקבל שיפוע הפונקציה הקוית המשיקה לפונקציה המקורית לכל x נתון.

הקבוע n מאפיין את נקודת חיתוך הציר האנכי של הפונקציה. לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת בלבד עם הציר האנכי. על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם הציר האנכי יש להציב $\!\, x=0$ ובכדי למצוא את נקודת חיתוך הציר האופקי יש להציב $\!\, y=0$ .

כל פונקציה היא ייחודית על פי שני מאפיינים אלו, ובמקרה של שינוי אחד מהקבועים מתקבלת פונקציה לינארית אחרת. בפונקציה זו לכל תמונה יש מקור אחד, קרי, לכל y יש x אחד בשונה מפונקציות ממעלות גבוהות.

[עריכה] דוגמאות

$\!\,y=2x-1$ - השיפוע הוא 2 ונקודת חיתוך הציר האנכי היא (1-).
$\!\,y=-x+5$ - שיפוע – (1-), נק' חיתוך – 5.
$\!\,f(x)=3x$ - שיפוע – 3, נק' חיתוך – ראשית הצירים.
$\!\,f(x)=4$ - השיפוע הוא אפס. זהו קו אופקי שחוצה את הציר האנכי ב- 4.

המשוואה מסוג $\!\,x=n$ אינה פונקציה משום שלמקור אחד יש אינסוף תמונות.

[עריכה] דוגמאות לשימושים מעשיים

כפי שהוסבר הפונקציה הלינארית מתארת יחס קבוע בין שני משתנים, במילים אחרות, כל משתנה התלוי במכפלת משתנה אחר בקבוע. לדוגמה, אם נתון שכיכר לחם עולה שני שקלים, הסכום שישולם תלוי ביחס ישיר לכמות הכיכרות. במקרה זה התמונה (y) היא הסכום שישולם, המקור (x) הוא מספר הכיכרות והיחס הקבוע (m) הוא מחיר הלחם, שני שקלים. הגרף שיתאר את הסכום הכללי כפונקציית הכיכרות יהיה לינארי.

דוגמאות מעשיות נוספות:

הדרך (x) כפונקציית הזמן (t) או המהירות (v) (במהירות קבועה): $\!\, x=vt+x_0$
מהירות זוויתית (w) כפונקציית (f) התדירות: $\!\, \omega =2\pi f$
המתח (U) כפונקציית הזרם (I) או (R) ההתנגדות: $\!\, U=RI$

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%A4/%D7%95/%D7%A0/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA.html

קטגוריה: אנליזה מתמטית

פונקציה לינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] הפונקציה בגרף

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] דוגמאות לשימושים מעשיים

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות