Funkcja kwadratowa

Jeśli $f$ jest funkcją kwadratową, to liczbę $s$ taką, że $f (s) = 0$ nazywamy miejscem zerowym funkcji $f$ , natomiast każde rozwiązanie równania postaci $f (x) = 0$ nazywamy pierwiastkiem tego równania.

Najczęściej rozważamy funkcje których dziedziną i przeciwdziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, zwykle też zapisujemy je w postaci

f (x) = a x 2 + b x + c

, gdzie $a,\; b,\; c \in R;\; a \ne 0$ .

[edytuj] Wyróżnik

Wyróżnikiem funkcji kwadratowej nazywamy liczbę daną wzorem $Δ = b 2 - 4 a c$ .

Wyróżnik jest pomocny w wyznaczaniu liczby jak i samych pierwiastków równania kwadratowego $a x 2 + b x + c = 0$ . Od tego miejsca będziemy rozważać tylko takie funkcje, których dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.^[1]

[edytuj] Pierwiastki

Równanie postaci $a x 2 + b x + c = 0$ ^[2] może nie mieć pierwiastków rzeczywistych, ponieważ ciało liczb rzeczywistych nie jest algebraicznie domknięte - np. równanie $x 2 + 1 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych. Dopuszczając rozwiązania zespolone, dowolne równanie stopnia drugiego ma zawsze dwa pierwiastki (może się zdarzyć, że równe sobie^[3])

W zależności od wyróżnika rzeczywistej funkcji kwadratowej ma ona:

zero rzeczywistych miejsc zerowych, gdy $Δ < 0$ (Jednak rónanie kwadratowe $f (x) = 0$ ma dwa różne sprzężone pierwiastki zespolone),
jedno podwójne miejsce zerowe rzeczywiste dla $Δ = 0$ ,
dwa różne rzeczywiste miejsca zerowe dla $Δ > 0$ .

Wyrażają się one wzorami $x_{1,2}={-b \pm \sqrt \Delta \over 2a}$ . W przypadku, gdy $Δ = 0$ jasnym jest, że jedyne miejsce zerowe dane jest wzorem $x_0 = {-b \over 2a}$ .

[edytuj] Równanie niezupełne

Gdy równanie kwadratowe nie jest zupełne, miejsca zerowe wyrażają się wzorami:

dla b = 0:
- równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych dla $a c > 0$ ,
- $x 0 = 0$ (pierwiastek dwukrotny) dla $c = 0$ ,
- $x_{1,2} = \pm \sqrt{-c \over a}$ dla $a c < 0$ ;
dla c = 0:
- $x_1 = 0,\; x_2={-b \over a}$ .

[edytuj] Postaci funkcji kwadratowej

postać wielomianowa: $f (x) = a x 2 + b x + c$ .
postać kanoniczna: $f (x) = a (x - p) 2 + q$ , gdzie $p = -{b \over 2a},\; q = -{\Delta \over 4a}$ ,
postać iloczynowa:
- $f (x) = a (x - x 1)(x - x 2)$ , gdzie $x_1,\; x_2$ są miejscami zerowymi, o ile $Δ > 0$ ,
- $f (x) = a (x - x 1) 2$ , jeżeli funkcja ma pierwiastek podwójny.

W drugim ze wzorów przy obliczaniu $q$ warto pamiętać, że również $f (p) = q$ .

[edytuj] Wykres

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa wyznacza parabolę. Z postaci kanonicznej łatwo odczytać wierzchołek paraboli $(p, q)$ będący zarazem ekstremum funkcji. Z kolei z postać iloczynowa jest pomocna w znajdowaniu przecięcia wykresu paraboli z osią $O X$ układu.

Gdy $a > 0$ , to ramiona paraboli są skierowane "w górę" i ma ona minimum globalne, w przeciwnym wypadku są skierowane "w dół" i ma ona maksimum globalne.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Przypisy

↑ Chociaż większość rozważań będzie słuszna nad dowolnymi pierścieniami.
↑ $a,b,c\in\mathbb{R}, a\neq 0$
↑ Mówimy wówczas, że liczba będąca rozwiązaniem danego równania jest jego podwójnym pierwiastkiem.