Metrisk rum
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Et metrisk rum er i matematikken en ikke-tom mængde S udstyret med en metrik d:S×S → R≥ 0. For at funktionen d kan kaldes en metrik, skal den opfylde disse tre egenskaber:
- d(x, y) = d(y, x) for alle x, y ∈ S (Symmetri).
- d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z,y) for alle x, y, z ∈ S (Trekantsuligheden).
- d(x, y) = 0 ⇔ x = y for alle x, y ∈ S.
Hvis 3. erstattes af det svagere krav d(x, x) = 0 for alle x ∈ S kaldes d en pseudometrik, og (S, d) et pseudometrisk rum.
En punktfølge (xn)n≥1 i S siges at konvergere mod et punkt x ∈ S, hvis d(xn, x) konvergerer mod nul. Altså
- xn → x ⇔ d(xn, x) → 0.
Om en punktfølge konvergerer i et metrisk rum afhænger altså fuldstændigt af metrikken. Dog siges to metrikker d og d' på samme mængde S at være ækvivalente, hvis
- d(xn, x) → 0 ⇔ d'(xn, x) → 0
for alle punktfølger (xn)n≥1 og punkter x i S.
En punktfølge (xn)n≥1 i S kaldes en Cauchyfølge, hvis
.
Et metrisk rum (S, d) kaldes nu fuldstændigt hvis alle Cauchyfølger konvergerer.
De metriske rum introduceredes af den franske matematiker Maurice Fréchet i værket Sur quelques points du calcul fonctionnel.
 |
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den. |
