거리공간
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집합 X의 임의의 원소 x, y, z에 대해 함수 d: X × X → R이 다음 조건을 만족할 때 d(x,y)를 x와 y사이의 거리(metric)이라 한다.
- d(x,x) = 0 이면,
- d(x,y) = d(y,x)
(삼각부등식)
위와 같이 거리 d가 정의된 집합 X를 거리공간(metric space)라 하고, (X, d)로 나타내며, 또는 간단히 거리공간 X로 쓴다.
[편집] 거리공간의 예
- 실수 R에서, 거리가 절대치를 이용해여, d(x,y) = | x − y | 로 정의되었을 때, (R, d)는 거리공간이다.
- Rn 에서, 거리를
로 정의하면, (Rn, d)는 거리공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다. - Rn 에서
을 거리로 정의하면, (Rn, d0) 는 거리공간이다.
이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 위상적으로 보면 위 예의 두가지 거리는 동일하다.
[편집] 관련 항목
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