Metrinen avaruus

Wikipedia

Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys.

Sisällysluettelo

1 Määritelmä
2 Esimerkkejä
3 Määritelmiä
4 Katso myös

[muokkaa] Määritelmä

Metrinen avaruus on pari $(X, d)$ , missä $X$ on joukko ja $d : X \times X \to \mathbb{R}$ kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon $X$ alkioilla $x$ , $y$ ja $z$ toteuttaa ehdot

$d(x,y) \ge 0$
$d (x, y) = 0$ jos ja vain jos $x = y$
$d (x, y) = d (y, x)$
$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ (kolmioepäyhtälö).

Metristä avaruutta $(X, d)$ kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi $X$ , jos käytössä oleva metriikka $d$ on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden $X$ alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua $d (x, y)$ pisteiden $x$ ja $y$ väliseksi etäisyydeksi.

[muokkaa] Esimerkkejä

Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa $X$ voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka määrittelemällä $d (x, y) = 0$ jos $x = y$ ja $d (x, y) = 1$ muutoin.
Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan $d (x, y) = | x - y |$ .

[muokkaa] Määritelmiä

[muokkaa] Avoin ja suljettu joukko

Metrisen avaruuden $(X, d)$ $x$ -keskinen $r$ -säteinen avoin kuula $B (x, r)$ , missä $x \in X$ ja $r \in \mathbb R_+$ , on $B(x,r) = \{y \in X : d(x,y) < r\}$ , ts. niiden pisteiden joukko, joiden etäisyys pisteestä $x$ on pienempi kuin $r$ .

Avaruuden $X$ osajoukkoa $G$ sanotaan avoimeksi joukoksi, jos sen jokainen piste sisältyy johonkin avoimeen kuulaan, joka sisältyy kokonaisuudessaan joukkoon $G$ . Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään $X$ :n topologian, eli jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Avaruuden $X$ osajoukkoa $F$ sanotaan suljetuksi joukoksi, jos sen komplementti on avoin.

[muokkaa] Rajoitettu joukko

Metristä avaruutta $(X, d)$ sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde $r > 0$ , että $d (x, y) < r$ kaikilla $x, y \in X$ . Pienintä tällaista sädettä sanotaan avaruuden halkaisijaksi.