Matrixexponential

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

In der Mathematik ist das Matrixexponential oder Matrixexponenzial eine Funktion auf der Menge der quadatischen Matrizen, welche analog zur reellen Exponentialfunktion definiert ist. Das Matrixexpontial stellt die Verbindung zwischen Liealgebra und der zugehörigen Liegruppe her.

Sei X eine reelle oder komplexe n×n-Matrix. Das Exponential von X, welches durch e^X oder exp(X) bezeichnet wird, ist die n×n-Matrix, welche durch die folgende Potenzreihe definiert ist.

$e^X = \sum_{k=0}^\infty{X^k \over k!}.$

Diese Reihe konvergiert immer. Daher ist das Exponential von X wohldefiniert. Wenn X eine 1×1-Matrix ist, entspricht das Matrixexponential von X der gewöhnlichen Exponentialfunktion.

Inhaltsverzeichnis

1 Eigenschaften
2 Berechnung des Matrixexponentials
3 Berechnung
4 Anwendungen
- 4.1 Lineare Differentialgleichungen
5 Siehe auch
6 Literatur

[Bearbeiten] Eigenschaften

Seien X und Y komplexe n×n-Matrizen, und seien a und b beliebige komplexe Zahlen. Wir bezeichnen die n×n-Einheitsmatrix mit E und die Nullmatrix mit 0. Das Matrixexponential hat die folgenden Eigenschaften:

$e 0 = E$ .
$e a X e b X = e (a + b) X$ .
$e X e - X = E$ .
Wenn $A B = B A$ , dann ist $e A e B = e A + B$ .
Wenn $Y$ invertierbar ist, dann ist $e^{YXY^{-1}} = Ye^XY^{-1}$ .
$det(e X) = e tr(X) .$ Hier bezeichnet $tr(X)$ die Spur der quadratischen Matrix $X$ .
exp(X^T) = (e^X)^T, wobei X^T die transponierte Matrix von X bezeichnet. Daraus folgt: Wenn X symmetrisch ist, dann ist auch e^X symmetrisch. Wenn X schiefsymmetrisch ist, dann ist e^X orthogonal.
exp(X^*) = (e^X)^*, wobei X^* die zu X adjungierte Matrix ist. Daraus folgt: Wenn X hermitesch ist, dann ist auch e^X hermitesch, und wenn X schiefhermitesch ist, dann ist e^X eine unitäre Matrix.

[Bearbeiten] Lineare Differentialgleichungen

Einer der Vorzüge des Matrixexponentials ist, dass man es benutzen kann, um Systeme von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen zu lösen. Aus Gleichung (1) unten folgt zum Beispiel, dass die Lösung des Anfangswertproblems

$\frac{d}{dt} y(t) = Ay(t), \quad y(0) = y_0,$

wobei A eine Matrix ist, durch

$y(t) = e^{At} y_0. \,$

gegeben ist. Das Matrixexponential kann auch zur Lösung der inhomogenen Gleichung

$\frac{d}{dt} y(t) = Ay(t) + z(t), \quad y(0) = y_0.$

verwendet werden. Beispiele findet man unten im Kapitel Anwendungen.

Für Differentialgleichungen der Form

$\frac{d}{dt} y(t) = A(t) \, y(t), \quad y(0) = y_0,$

mit nicht-konstantem A gibt es keine geschlossenen Lösungen. Die Magnus-Reihe liefert jedoch eine Lösung als unendliche Summe.

[Bearbeiten] Das Exponential von Summen

Die Exponentialfunktion erfüllt $e x + y = e x e y$ für alle Zahlen x and y. Dasselbe gilt für kommutierende Matrizen: Wenn die Matrizen X und Y kommutieren (d.h. XY = YX), dann gilt

$e^{X+Y} = e^Xe^Y. \,$

Wenn sie jedoch nicht kommutieren, dann braucht obige Gleichung nicht zu gelten. In diesem Fall kann man $e X + Y$ mit Hilfe der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel berechnen.

[Bearbeiten] Die Exponentialabbildung

Das Exponential einer Matrix ist immer eine invertierbare Matrix. Die Inverse von e^X ist durch e^−X gegeben. Das Matrixexponential liefert somit eine Abbildung

$\exp \colon M_n(\mathbb C) \to \mbox{GL}(n,\mathbb C)$

aus dem Vektorraum aller n×n-matrizen in die allgemeine lineare Gruppe, die Gruppe aller invertierbaren Matrizen. Diese Abbildung ist surjektiv, d.h. jede invertierbare Matrix kann als die Exponentialmatrix einer anderen Matrix geschrieben werden. (Dies gilt nur wenn man als Einträge komplexe Zahlen zulässt. Lässt man nur reelle Zahlen zu, so gilt die Aussage nicht.) Der Matrixlogarithmus liefert die Umkehrung dieser Abbildung.

Für je zwei Matrizen X und Y, gilt

$\| e^{X+Y} - e^X \| \le \|Y\| e^{\|X\|} e^{\|Y\|},$

wobei || · || eine beliebiege Matrixnorm bezeichnet. Daraus folgt, dass die Exponentialabbildung stetig und auf kompakten Teilmengen von M_n(C) sogar lipschitzstetig ist.

Die Zuordnung

$t \mapsto e^{tX}, \qquad t \in \mathbb R$

definiert eine glatte Kurve in der allgemeinen linearen Gruppe, welche für t = 0 die Einheitsmatrix liefert. Dies liefert eine Einparameter-Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, da

$e^{tX}e^{sX} = e^{(t+s)X}\,$

gilt. Die Ableitung dieser Funktion am Punkt t ist durch

$\frac{d}{dt}e^{tX} = Xe^{tX}. \qquad (1)$

gegeben. Die Ableitung für t = 0 ist gerade die Matrix X, d. h. X erzeugt diese Einparameter-Untergruppe.

Allgemeiner gilt:

$\frac{d}{dt}e^{X(t)} = \int_0^1 e^{(1-\alpha) X(t)} \frac{dX(t)}{dt} e^{\alpha X(t)}d\alpha$

[Bearbeiten] Berechnung des Matrixexponentials

[Bearbeiten] Diagonalisierbare Matrizen

Ist die Matrix A eine Diagonalmatrix

$A=\begin{pmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_n \end{pmatrix},$

dann kann man ihr Exponential ermitteln, indem man die übliche Exponentialfunktion auf jeden Eintrag der Hauptdiagonalen anwendet:

$e^A=\begin{pmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & e^{a_2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{pmatrix}.$

Damit kann man auch das Exponential diagonalisierbarer Matrizen berechnen. Wenn A = UDU⁻¹ mit einer Diagonalmatrix D ist, dann ist e^A = Ue^DU⁻¹.

[Bearbeiten] Nilpotenter Fall

Eine Matrix N ist nilpotent, wenn N^q = 0 für eine geeignete natürliche Zahl q gilt. In diesem Fall kann das Matrixexponential e^N direkt aus der Reihenentwicklung berechnet werden, da die Reihe nach einer endlichen Anzahl von Termen abbricht:

$e^N = E + N + \frac{1}{2}N^2 + \frac{1}{6}N^3 + \cdots + \frac{1}{(q-1)!}N^{q-1}.$

[Bearbeiten] Allgemeiner Fall

Eine beliebige Matrix X kann eindeutig in eine Summe

$X = A + N \,$

zerlegt werden, wobei

A diagonalisierbar ist
N nilpotent ist
A mit N kommutiert (d.h. AN = NA)

Damit kann man das Exponential von X berechnen, indem man es auf die vorgenannten Fälle reduziert: $e^X = e^{A+N} = e^A e^N. \,$ Im letzten Schritt benötigt man die Kommutativität von A und N.

Eine andere (nah verwandte) Methode ist die Verwendung der Jordanschen Normalform von X. Sei J die Jordansche Normalform von X mit der Übergangsmatrix P, dass heißt, es gilt

$e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.\,$

Wegen

$J=J_{a_1}(\lambda_1)\oplus J_{a_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{a_n}(\lambda_n),$

gilt

$e^{J}\,$	$= \exp \big( J_{a_1}(\lambda_1)\oplus J_{a_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{a_n}(\lambda_n) \big)$
	$= \exp \big( J_{a_1}(\lambda_1) \big) \oplus \exp \big( J_{a_2}(\lambda_2) \big) \oplus\cdots\oplus \exp \big( J_{a_k}(\lambda_k) \big).$

Daher muss man nur das Exponential eines Jordan-Blocks kennen. Nun ist jeder Jordan-Block von der Form

$J_{a}(\lambda) = \lambda I + N \,$

wobei N eine spezielle nilpotente Matrix ist. Das Exponential des Jordan-Blocks ist also

$e^{\lambda I + N} = e^{\lambda}e^N. \,$

[Bearbeiten] Berechnung

Man betrachte die Matrix

$B=\begin{pmatrix} 21 & 17 & 6 \\ -5 & -1 & -6 \\ 4 & 4 & 16 \end{pmatrix}$ ,

welche die Jordansche Normalform

$J=\begin{pmatrix} 16 & 1 & 0 \\ 0 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ ,

mit der Übergangsmatrix

$P=\begin{pmatrix} -1 & 1 & {5 \over 8} \\ 1 & -1 & -{1\over 8} \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

hat. Dann gilt

$J=J_2(16)\oplus J_1(4)$

und

$e^B = P e^{J} P^{-1} = P (e^{J_2(16)} \oplus e^{J_1(4)} ) P^{-1}.$

Somit ist

$\exp \left[ 16 E+\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right] = e^{16}\left[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + {1 \over 2!}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\cdots\right]=\begin{pmatrix} e^{16} & e^{16} \\ 0 & e^{16} \end{pmatrix}$

Das Exponential einer 1×1-Matrix ist trivial. Mit e^J₁(4)=e⁴ folgt

$e^B = P\begin{pmatrix} e^{16} & e^{16} & 0 \\ 0 & e^{16} & 0 \\ 0 & 0 & e^4 \end{pmatrix}P^{-1} = {1\over 4}\begin{pmatrix} 5e^4-e^{16} & 5e^4 - 5 e^{16} & -2e^{16} \\ -e^4 + e^{16} & -e^4 + 5e^{16} & 2e^{16} \\ 0 & 0 & 4e^{16} \end{pmatrix}$

Die Jordansche Normalform und daraus das Exponential zu berechnen, ist auf diesem Weg sehr mühsam. Meist reicht es, die Wirkung der Exponential-Matrix auf einige Vektoren zu berechnen.

[Bearbeiten] Anwendungen

[Bearbeiten] Lineare Differentialgleichungen

Das Matrixexponential kann für die Lösung eines System von Differentialgleichungen verwendet werden. Eine Differentialgleichung der Form

y′ = Cy

hat die Lösung e^Cx. Wenn man Vektor

$\mathbf{y}(x) = \begin{pmatrix} y_1(x) \\ \vdots \\ y_n(x) \end{pmatrix}$

betrachtet, dann kann man ein System von gekoppelten linearen Differentialgleichung betrachten als

$\mathbf{y}'(x) = A\mathbf{y}(x)+\mathbf{b}$ .

Wenn man den Integrationsfaktor e^−Ax ansetzt und auf beiden Seiten multipliziert, erhält man

$e^{-Ax}\mathbf{y}'(x)-e^{-Ax}A\mathbf{y} = e^{-Ax}\mathbf{b}$

$D (e^{-Ax}\mathbf{y}) = e^{-Ax}\mathbf{b}$

Wenn man e^Ax berechnet, erhält man eine Lösung des Differentialgleichungssystems.

[Bearbeiten] Beispiel (homogen)

Gegeben seien folgende Differentialgleichungen

$\begin{matrix} x' &=& 2x&-y&+z \\ y' &=& &3y&-1z \\ z' &=& 2x&+y&+3z \end{matrix}$

Die zugehörige Matrix ist

$M=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Daraus errechnen wir das zugehörige Matrixexponential

$e^{tM}=\begin{pmatrix} 2e^t - 2te^{2t} & -2te^{2t} & 0 \\ -2e^t + 2(t+1)e^{2t} & 2(t+1)e^{2t} & 0 \\ 2te^{2t} & 2te^{2t} & 2e^t\end{pmatrix}$

Damit ist die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems

$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix}2e^t - 2te^{2t} \\ -2e^t + 2(t+1)e^{2t}\\ 2te^{2t}\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}-2te^{2t}\\ 2(t+1)e^{2t}\\ 2te^{2t}\end{pmatrix}+C_3\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 2e^t\end{pmatrix}$

bzw.

$\begin{matrix} x &=& C_1(2e^t - 2te^{2t}) + C_2(-2te^{2t})\\ y &=& C_1(-2e^t + 2(t+1)e^{2t})+C_2(2(t+1)e^{2t})\\ z &=& (C_1+C_2)(2te^{2t})+2C_3e^t\end{matrix}$

[Bearbeiten] Inhomogener Fall - Variation der Konstanten

Für den inhomogenen Fall kann man eine Methode ähnlich der Variation der Konstanten benutzen. Es wird ein Lösung der Form y_p(t)=exp(tA)z(t) gesucht:

$\mathbf{y}_p' = (e^{tA})'\mathbf{z}(t)+e^{tA}\mathbf{z}'(t)$

$= Ae^{tA}\mathbf{z}(t)+e^{tA}\mathbf{z}'(t)$

$= A\mathbf{y}_p(t)+e^{tA}\mathbf{z}'(t)$

Um die Lösung y_p zu ermitteln, setzt man

$e^{tA}\mathbf{z}'(t) = \mathbf{b}(t)$

$\mathbf{z}'(t) = (e^{tA})^{-1}\mathbf{b}(t)$

$\mathbf{z}(t) = \int_0^t e^{-uA}\mathbf{b}(u)\,du+\mathbf{c}$

Damit ergibt sich

$\mathbf{y}_p = e^{tA}\int_0^t e^{-uA}\mathbf{b}(u)\,du+e^{tA}\mathbf{c}$

$= \int_0^t e^{(t-u)A}\mathbf{b}(u)\,du+e^{tA}\mathbf{c}$ ,

wobei c durch die Anfangsbedingungen bestimmt wird.

[Bearbeiten] Beispiel (inhomogen)

Gegeben sei das System von Differentrialgleichungen

$\begin{matrix} x' &=& 2x&-y&+z&+e^{2t} \\ y' &=& &3y&-1z& \\ z' &=& 2x&+y&+3z&+e^{2t} \end{matrix}$

Damit ergibt sich folgende Matrix

$M=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

und

$\mathbf{b}=e^{2t}\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}$

Von oben kennen wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.

Die Summe aus homogenen und speziellen Lösungen ergeben die Lösung für das inhomogene Problem. Man muss jetzt nur noch die spezielle Lösung finden (über die Variation der Konstanten).

Von der Gleichung oben erhält man:

$\mathbf{y}_p = e^{t}\int_0^t e^{(-u)A}\begin{pmatrix}e^{2u} \\ 0\\ e^{2u}\end{pmatrix}\,du+e^{tA}\mathbf{c}$

$\mathbf{y}_p = e^{t}\int_0^t \begin{pmatrix} 2e^u - 2ue^{2u} & -2ue^{2u} & 0 \\ \\ -2e^u + 2(u+1)e^{2u} & 2(u+1)e^{2u} & 0 \\ \\ 2ue^{2u} & 2ue^{2u} & 2e^u\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{2u} \\ 0\\ e^{2u}\end{pmatrix}\,du+e^{tA}\mathbf{c}$

$\mathbf{y}_p = e^{t}\int_0^t \begin{pmatrix} e^{2u}( 2e^u - 2ue^{2u}) \\ \\ e^{2u}(-2e^u + 2(1 + u)e^{2u}) \\ \\ 2e^{3u} + 2ue^{4u}\end{pmatrix}+e^{tA}\mathbf{c}$

$\mathbf{y}_p = e^{t}\begin{pmatrix} -{1 \over 24}e^{3t}(3e^t(4t-1)-16) \\ \\ {1 \over 24}e^{3t}(3e^t(4t+4)-16) \\ \\ {1 \over 24}e^{3t}(3e^t(4t-1)-16)\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2e^t - 2te^{2t} & -2te^{2t} & 0 \\ \\ -2e^t + 2(t+1)e^{2t} & 2(t+1)e^{2t} & 0 \\ \\ 2te^{2t} & 2te^{2t} & 2e^t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{pmatrix}$ ,

welche weiter vereinfacht werden kann, um die notwendige spezielle Lösung durch Variation der Konstanten zu bestimmen.

[Bearbeiten] Siehe auch

Exponentialfunktion

[Bearbeiten] Literatur

Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1991. ISBN 0-521-46713-6 (englisch).

Von „http://de.wikipedia.org../../../m/a/t/Matrixexponential.html“

Kategorien: Lineare Algebra | Liealgebren

Matrixexponential

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Eigenschaften

[Bearbeiten] Lineare Differentialgleichungen

[Bearbeiten] Das Exponential von Summen

[Bearbeiten] Die Exponentialabbildung

[Bearbeiten] Berechnung des Matrixexponentials

[Bearbeiten] Diagonalisierbare Matrizen

[Bearbeiten] Nilpotenter Fall

[Bearbeiten] Allgemeiner Fall

[Bearbeiten] Berechnung

[Bearbeiten] Anwendungen

[Bearbeiten] Lineare Differentialgleichungen

[Bearbeiten] Beispiel (homogen)

[Bearbeiten] Inhomogener Fall - Variation der Konstanten

[Bearbeiten] Beispiel (inhomogen)

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

Views

Navigation

Mitmachen

Suche

Andere Sprachen