טופולוגיה חלשה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

טופולוגיה חלשה היא טופולוגיה שבה ה"מרחק" או ה"סביבות" מוגדרות באמצעות קבוצה של פונקציות רציפות על המרחב. נהוג להשתמש במונח זה כאשר מגדירים טופולוגיה שכזו על מרחב מטרי (ובפרט, מרחב בנך) שעליו קיימת כבר הטופולוגיה המטרית/הנורמית - שהיא טופולוגיה חזקה יותר.

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהי X מרחב נורמי ותהי $\ F \subset C(X)$ משפחת פונקציות שהיא תת-קבוצה לקבוצת כל הפונקציות הרציפות על X.

אזי הטופולוגיה החלשה היא הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר: אם הכי מעט קבוצות פתוחות) כך שעליה כל הפונקציות של F הן רציפות. הגדרה זו שקולה להגדרת הטופולוגיה החדשה באמצעות הגדרת איברי הבסיס לטופולוגיה באופו הבא:

$\ U \left( x_0 , A , \varepsilon \right) = \left\{ x \in X \ \ | \ \ \forall f \in A \ : \ | f(x_0) - f(x) | < \varepsilon \right\}$

כאשר רצים על כל נקודות X, כלומר: $\ \forall x_0 \in X$ , על כל משפחת פונקציות סופית $\ A \subset F$ (כלומר, תת-קבוצה סופית של F) ולכל $\varepsilon > 0$ . כלומר,

$\ \mathbb{B} = \{U \left( x_0 , A , \varepsilon \right) | A \subset F,\, \varepsilon > 0, x_0 \in X\}$

בסיס זה מגדיר את הטופולוגיה, שמסומנת כ $\ w(F)$ .

[עריכה] תכונות

אם המשפחה F מפרידה נקודות (כלומר: $\ \forall x \ne y : \exist f \in F : f(x) \ne f(y)$ ) אזי הטופולוגיה החלשה היא האוסדורף (T₂).
התכנסות: בטופולוגיה זו $\ x_n \to x$ אם ורק אם לכל $\ f \in F$ מתקיים ש $\ f(x_n) \to f(x)$ .
משפט בנך-אלאוגלו: יהי X מרחב בנך ונגדיר טופולוגיה חלשה מעל $\ X^*$ על ידי $\ w(X)$ כאשר $\ X \subset X^{**}$ (כאן X משחק בתפקיד של F ואילו $\ C(X) \subset X^{**}$ . אזי במרחב טופולוגי זה, הנקרא w* , מתקיים שכדור היחידה הוא קומפטי.