טור (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה מושג הטור בא לציין את סכומה של סדרה, שיכולה להיות סדרת מספרים, וגם סדרה של פונקציות. למשל, 1+2+3 הוא טור שסכומו 6. נהוג להבדיל בין שני סוגי טורים עיקריים: טור סופי וטור אינסופי.

תוכן עניינים

1 טורים סופיים
2 טורים אינסופיים
3 טורי פונקציות
4 חישוב סכום של טורים אינסופיים
5 קישורים חיצוניים
6 ראו עוד

[עריכה] טורים סופיים

טורים סופיים אינם אלא דרך מקוצרת לרשום בה חיבור של איברים רבים. באופן כללי, הסימון המקוצר עבור הטור $\ a_1+a_2+a_3+...+a_n$ הוא באמצעות האות היוונית סיגמה, בסימון זה: $\ \sum_{k=1}^n a_k$ כאשר $\ k$ הוא מספר טבעי הנקרא האינדקס של הסכום, והוא רץ מהערך התחילי שלו ועד $\ n$ .

ישנם כמה סוגי טורים הראויים להתייחסות מיוחדת:

[עריכה] טור חשבוני

טור חשבוני הוא סכומה של סדרה חשבונית. סכום זה שווה למכפלת חצי מספר האיברים בסכום האיבר הראשון והאחרון: $\ \sum_{k=1}^n a_k=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ (ראו בעניין זה אנקדוטה אודות קרל פרידריך גאוס).

[עריכה] טור טלסקופי

טור טלסקופי הוא כינוי לכל טור שבו מצטמצמים כל האיברים למעט האיבר הראשון והאחרון, עובדה שמקלה על חישוב סכומם. נסתכל למשל בטור הבא: $\ \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{(n)\cdot (n+1)}$ האיבר ה- $\,k$ בטור הזה הוא $\ \frac{1}{k\cdot(k+1)}$ כעת נשים לב כי מתקיים: $\ \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{k+1-k}{k\cdot(k+1)}=\frac{1}{k\cdot(k+1)}$ ולכן נוכל לשכתב את הטור ולכתוב אותו כך:

$\ \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+...+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=$ $\ =\frac{1}{1}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}+\left(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1} =$ $\ =\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

ולכן: $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k\cdot(k+1)}=\frac{n}{n+1}$

[עריכה] טור הנדסי

טור הנדסי (או טור גאומטרי) הוא סכום איבריה של סדרה הנדסית. למשל, הטור $\,1+2+4+8+16+...+2^{n-1}$ הוא טור של איברי הסדרה ההנדסית המתחילה ב-1, והמנה - 2. סכום טור של סדרה הנדסית כלשהי יהיה: $\ S_n=a\frac{q^n-1}{q-1}$ .
כאשר $\,q$ היא המנה, $\,a$ האיבר הראשון ומספר האיברים הוא $\,n$ . נוכיח זאת:

נשים לב כי מתקיים $\ (q-1)(q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1)= q^{n}-1$ (זהו טור טלסקופי, כי מפתיחת הסוגריים מקבלים $\ q^n-q^{n-1}+q^{n-1}-\dots-q+q-1$ ). כעת, סכום של טור בן $\,n$ איברים שאברו הראשון הוא $\,a$ ומנתו $\,q$ נתון בדיוק על ידי $\ S_n=a+aq+aq^2+...+aq^{n-1}$ . לכן נקבל מהשוויון שהראינו קודם שמתקיים $\ (q-1)S_n=a(q^n-1)$ ומכאן $\ S_n=a\frac{q^n-1}{q-1}$

[עריכה] טורים אינסופיים

כאשר אין סוף למספר האיברים בטור, נהוג לסמן אותו כך: $\ \sum_{k=1}^\infty a_k$ . גם בטור שכזה ניתן לדבר על הסכום של כל האיברים, אך לא תמיד. נסתכל ראשית בדוגמה:

נניח כי $\ 1+2+4+8+...=A$ כאשר $\ A$ מספר ממשי כלשהו. כעת נכפיל את הטור כולו ב-2 ונקבל: $\ 2+4+8+...=2A$ ומכאן כי $\ 2A=A-1$ וקיבלנו $\ A=-1$ . זה כמובן לא הגיוני. מכאן שלא כל טור אינסופי בהכרח מתכנס למספר סופי.

כשאנו באים לבדוק התכנסות של טור, בצורה אינטואיטיבית, הרעיון הוא כזה: כשאנו מסכמים את אברי הטור, "נעצור ונבדוק" כל הזמן את הסכום שלנו עד עכשיו. אם נראה שהסכום "הולך ומתקרב" למספר סופי כלשהו, זה אומר שהטור מתכנס, ואילו אם אנחנו רואים שהטור לא מתקרב לאף מספר (גדל/קטן כל הזמן, או "מתנדנד" בין כמה ערכים) הרי שהטור אינו מתכנס.

[עריכה] התכנסות של טור אינסופי

יהי $\ \sum_{k=1}^\infty a_k$ טור. נגדיר סכום חלקי $\,S_n$ בתור סכום $\,n$ האיברים הראשונים של הטור, כלומר $\ S_n=\sum_{k=1}^n a_k$ . הטור מתכנס למספר ממשי $\,L$ , אם סדרת הסכומים החלקיים $\ \left\{S_n\right\}_{n=1}^\infty$ מתכנסת למספר זה. אם טור לא מתכנס, אומרים שהוא מתבדר.

תנאי הכרחי (אך לא מספיק) להתכנסות טור הוא: האיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס. ישנם מבחני התכנסות שבעזרתם אפשר להוכיח שטור מסוים מתכנס. אולם, מבחנים אלה בדרך כלל אינם נותנים דרך לחישוב הסכום. חישוב סכום של טורים הוא משימה קשה למדי (ראו דוגמאות להלן).

[עריכה] דוגמאות

טור חשבוני אינסופי שאינו זהותית אפס אינו מתכנס (הוא מתבדר לאינסוף או למינוס אינסוף).
גם הטור ההרמוני, $\ \sum_{k=1}^\infty \frac {1}{k}$ מתבדר (או מתכנס לאינסוף) למרות שהסדרה ההרמונית - $\frac 1 n$ שואפת ל - 0. דוגמה לכך שהתנאי ההכרחי (ראו לעיל) אינו מספיק להתכנסות הטור.
טור הנדסי אינסופי מתכנס כאשר היחס הקבוע בין איבריו הוא בין אחד למינוס אחד: $\ |q|<1$ . במקרה זה, סכומו הוא $\ \frac{a_1}{1-q}$ . עבור יחס שגדול או שווה בערכו המוחלט ל-1 הטור מתבדר.
כאשר בטור הנדסי היחס הקבוע בין אבריו שווה למינוס אחד, מתקבל טור "מתחלף", לדומה $\ 1-1+1-1+1-1+\dots$ הוא טור שכזה. בניגוד לדוגמאות שהוצגו לעיל, לא ניתן לומר על טור זה אפילו שהוא מתכנס לאינסוף, כי סכומו אינו מתקרב לאינסוף אלא מתחלף ללא הרף בין 0 ובין 1.

[עריכה] התכנסות בהחלט

הטור $\ \sum{a_n}$ מתכנס בהחלט אם טור הערכים המוחלטים $\ \sum{|a_n|}$ מתכנס (במובן הרגיל). טור מתכנס שאינו מתכנס בהחלט, נקרא טור מתכנס בתנאי. לטור המתכנס בתנאי יש תכונה מעניינת: לכל מספר $\ L$ , אפשר לסדר מחדש את אברי הטור כך שהטור יתכנס וסכומו יהיה $\ L$ . לעומת זאת, בטור מתכנס בהחלט אפשר לשנות את סדר האיברים, ותמיד יתקבל אותו סכום.

[עריכה] טורים בני-סיכום

מבחינה תאורטית אפשר לחשוב על המושג 'סכום של טור' שהגדרנו להלן, כעל פונקציונל מתת-המרחב של טורים מתכנסים במרחב הטורים $\ \mathbb{R}^\mathbb{N}$ לשדה המספרים הממשיים $\ \mathbb{R}$ . בהנתן טור מתכנס, הפונקציונל הזה מחזיר את סכומו של הטור.

מנקודת מבט זו, אפשר להכליל את מושג הסכום, כך שיכסה כל פונקציונל העונה על הדרישות שציינו. היתרון הוא שכעת נוכל 'להרוויח' טורים חדשים, שאינם מתכנסים במובן הרגיל, אבל פונקציונל הסיכום החדש שלנו יודע לטפל בהם בכל זאת. תחום זה של האנליזה נקרא summability.

[עריכה] דוגמאות

אומרים שהטור $\ \sum_{n}a_n$ מתכנס לערך $\, S$ במובן של אבל, אם הגבול של $\ \sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ כאשר $\, x$ שואף ל-1 מלמטה, שווה ל- $\, S$ . כל טור מתכנס (במובן הרגיל) מתכנס לאותו ערך גם במובן של אבל; לעומת זאת, הטור $\ \sum (-1)^{n+1}n$ כמובן אינו מתכנס במובן הרגיל, וסכומו במובן של אבל הוא רבע.

שיטת סיכום אחרת מיוחסת לצ'זרו (Cesàro). נסמן ב- $\ s_n$ את סדרת הסכומים החלקיים של טור נתון. הטור מתכנס במובן הרגיל אם הסדרה $\ s_n$ מתכנסת. אומרים שהטור "מתכנס במובן של צ'זרו" או שהוא "טור מטיפוס C-1", אם הסדרה $\ s_n^{(1)}=\frac{s_1+\cdots+s_n}{n}$ מתכנסת. למשל, הטור $\ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}$ אינו מתכנס במובן הרגיל, אבל סכומו במובן צ'זרו הוא חצי. אם טור אינו מתכנס במובן C-1 אבל הממוצעים של $\ s_n^{(1)}$ כן מתכנסים, אז הטור הוא מטיפוס C-2, וכן הלאה.

[עריכה] טורי פונקציות

כשם שניתן להגדיר סדרה של מספרים, כך גם ניתן להגדיר סדרה של פונקציות, ולכן ניתן להגדיר גם טור של פונקציות. גם סדרות וטורים אלו יכולים להתכנס - במקרה זה לא למספר קבוע, אלא לפונקציה.

[עריכה] חישוב סכום של טורים אינסופיים

ברוב המקרים חישוב סכום של טור אינסופי איננו עניין פשוט. ובכל זאת, קיימות מספר שיטות:

[עריכה] מניפולציות אנליטיות

נראה כאן כיצד ניתן לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף $\sum_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{k-1}\frac {1}{k}$ . זהו טור מתכנס, בניגוד לטור ההרמוני, ונחשב את סכומו באמצעות תכונות של טורי חזקות.

ראשית נביט בטור ההנדסי $\sum_{k=0}^\infty x^k$ שמתכנס עבור $\!\, x\isin(-1,1)$ . ידוע כי סכום טור זה הוא $\frac {1}{1-x}$ . נציב $\!\, x=-y$ ונקבל: $\sum_{k=0}^\infty (-y)^k=\frac{1}{1+y}$ . מכיוון שזהו טור חזקות בעל רדיוס התכנסות 1 ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר, ולכן נקבל: $\sum_{k=0}^\infty \int_0^y(-1)^kt^kdt=\int_0^y\frac{1}{1+t}dt$ , כלומר $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{y^{k+1}}{k+1}=\ln(1+y)$ .

קיבלנו כעת טור חדש בעל רדיוס התכנסות זהה לזה של הטור המקורי - 1. אנו יודעים שטור זה מתכנס בנקודה $\!\, y=1$ (למשל, בעזרת מבחן לייבניץ), ולכן נציב $\!\, y=1$ ונקבל: $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{1}{k+1}=\ln(2)$ . והרי $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{1}{k+1}=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{1}{k}$ , ולכן הגענו לתוצאה המבוקשת: $\sum_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{k-1}\frac {1}{k}=\ln(2)$ .

[עריכה] טור טיילור

לעתים, טור אינסופי מסוים הוא פשוט טור טיילור של פונקציה מסוימת בנקודה מסוימת. למשל, בדוגמה לעיל השתמשנו בטור טיילור של $\ \ln(1+x)$ על מנת לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף, השווה ל- $\ \ln(2)$ .

[עריכה] טור פורייה

טור פורייה הוא הצגה של פונקציה כטור אינסופי של סינוסים וקוסינוסים. באמצעות הצבה בתוך הטור או על ידי שימוש בזהות פרסבל אפשר לחשב באמצעותו טורים שונים, למשל ערכים שונים של פונקציית זטא של רימן. לדוגמה:

טור פורייה של x בקטע $\ [-\pi,\pi]$ הוא

$f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) =$

$=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)$

ומזהות פרסבל

$\ \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}{\left|(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \right| ^2} = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}{x^2 dx} = 2 \frac{\pi^2}{6}$

ולכן הערך של פונקציית זטא של רימן בנקודה s=2 (הנקרא גם טור אוילר, על שם המתמטיקאי שחישב אותו לראשונה) הוא

$\ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} = \frac{\pi ^2}{6}$

[עריכה] טור טלסקופי

טור טלסקופי הוא טור מהצורה $\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n - a_{n-1})}$ וקל לחשב את סכומו שכן

$\ \sum_{n=1}^{\infty}{(a_n - a_{n-1})} = \lim_{n \to \infty}{(a_n - a_0)}$

לעתים, יש טורים שניתן להציגם בצורה זו. למשל:

$\ \sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{1}{ n(n+1) } } = \sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} } = \lim_{n \to \infty}{ \left( 1 - \frac{1}{n} \right) } = 1$

[עריכה] חישוב בעזרת שאריות

שיטה שימושית לחישוב הסכום של טורים מבוססת על חישוב שאריות בפונקציות מרוכבות. ממשפט השארית נובעת התוצאה הבאה (כאשר f היא פונקציה אנליטית):

אם קיימים קבועים C ו- $\ p>1$ כך ש- $\ |f(z)|<\frac{C}{|z|^p}$ כאשר $\ |z|$ גדול מספיק, והטור $\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)$ מתכנס, אז סכומו שווה לסכום השאריות של $\ \pi f(z)\cot(\pi z)$ בכל הקטבים של f.

[עריכה] קישורים חיצוניים

http://www.american.edu/cas/mathstat/People/kalman/pdffiles/Sixways.pdf

[עריכה] ראו עוד

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%98/%D7%95/%D7%A8/%D7%98%D7%95%D7%A8_%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29.html

קטגוריה: אנליזה מתמטית

טור (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] טורים סופיים

[עריכה] טור חשבוני

[עריכה] טור טלסקופי

[עריכה] טור הנדסי

[עריכה] טורים אינסופיים

[עריכה] התכנסות של טור אינסופי

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] התכנסות בהחלט

[עריכה] טורים בני-סיכום

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] טורי פונקציות

[עריכה] חישוב סכום של טורים אינסופיים

[עריכה] מניפולציות אנליטיות

[עריכה] טור טיילור

[עריכה] טור פורייה

[עריכה] טור טלסקופי

[עריכה] חישוב בעזרת שאריות

[עריכה] קישורים חיצוניים

[עריכה] ראו עוד

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות