Formula di Erone

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In geometria, la formula di Erone afferma che l'area di un triangolo i cui lati abbiano lunghezze a, b, c è data da:

$\mathrm{area} = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\,$

dove p è il semiperimetro:

$p=\frac{a+b+c}{2}$

(vedi anche radice quadrata). La formula di Erone può anche essere scritta nella forma equivalente:

$\mathrm{area}={\ \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}\ \over 4}.\,$

che ha il vantaggio di non richiedere p.

[modifica] Storia

La formula è attribuita ad Erone di Alessandria, vissuto nel I secolo DC, perché se ne può trovare una dimostrazione nel suo libro Metrica. Secondo la testimonianza di al-Biruni la formula sarebbe però da attribuire ad Archimede.

[modifica] Dimostrazione

Quella che segue è una dimostrazione moderna, che utilizza l'algebra e la trigonometria ed è quindi piuttosto diversa da quella fornita da Erone. Siano a, b, c i lati del triangolo e A, B, C gli angoli opposti ad essi. Abbiamo:

$\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

per il teorema di Carnot. Con alcuni calcoli algebrici otteniamo:

$\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$ .

L'altezza di un triangolo relativa alla base a ha lunghezza pari a bsin(C), da cui segue:

$S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altezza})=$

$\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(C)=$

$\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}=$

$\qquad = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}.$

I semplici calcoli algebrici dell'ultimo passaggio sono stati omessi.

[modifica] Generalizzazioni

La formula di Erone è un caso speciale della formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero ciclico, ed entrambe sono casi speciali della formula di Bretschneider per l'area di un quadrilatero generico.

Esprimere la formula di Erone con un determinante in termini dei quadrati delle distanze fra tre vertici assegnati, illustra la sua somiglianza alla formula di Tartaglia per il volume di un 4-simplesso.

$S = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} }$