Формула Герона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Фо́рмула Геро́на позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

где р — полупериметр треугольника: $p = \frac{a + b + c}2$ .

[править] История

Формула содержится в «Метрике» древнегреческого математика Герона Александрийского (1 в.) и названа в его честь. Он интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник. Формула была известна Архимеду (3 в. до н. э.).

[править] Доказательство

$S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma}$ ,

где $\ \gamma$ — угол треугольника, противолежащий стороне $c$ . По теореме косинусов:

$c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,$

Отсюда:

$\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},$

Значит,

$\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=$

$={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=$

$={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$ .

Замечая, что $a + b + c = 2 p$ , $a + b - c = 2 p - 2 c$ , $a + c - b = 2 p - 2 b$ , $c - a + b = 2 p - 2 a$ , получается:

$\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$

Таким образом,

$S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

ч.т.д.

[править] Обобщения

Площадь вписанного четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},$

где $p=\frac{a+b+c+d}2$ — полупериметр четырёхугольника. Треугольник является предельным случаем описанного четырёх угольника при устремлении длины одной и сторон к нулю.