Formule de Héron

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Notations usuelles dans un triangle

En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle :

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$s = \frac 12 (a+b+c) \,$

s est le demi-périmètre du triangle, a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle et A est l'aire du triangle.

[modifier] Démonstration

La formule de Héron peut se déduire de manière calculatoire du théorème d'Al-Kashi en utilisant

$\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

puis la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents :

$A \,$	$= \frac 12 ab\sin\gamma\,$
	$=\frac 12ab\sqrt{1-\cos^2\gamma}\,$
	$=\frac 12 ab\sqrt{(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)}\,$
	$=\frac12ab\sqrt{\left(1-\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)\left(1+\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)}$
	$=\frac14\sqrt{\left((a+b)^2-c^2\right)\left(c^2-(a-b)^2\right)}$
	$=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}\,$

On obtient la formule de Héron en substituant

$a = 2s-b-c\,$

dans la formule ci-dessus.

[modifier] Mise en œuvre numérique

La formule de Héron présente une instabilité numérique qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres.

Une formule permettant de pallier cette instabilité est

$A = \frac14 \sqrt{\left(a+(b+c)\right)\left(c-(a-b)\right)\left(c+(a-b)\right)\left(a+(b-c)\right)}$ ,

où les noms des côtés sont choisis de sorte à ce que

$a > b > c\,$ .

[modifier] Généralisation

[modifier] En géométrie sphérique

En trigonométrie sphérique, il existe une formule analogue à la formule de Héron qui permet de déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier.

[modifier] Pour les quadrilatères

Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère, mais à moins qu'il soit inscriptible dans un cercle, la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est nécessaire. Voir : formule de Bretschneider et formule Brahmagupta.