헤론의 공식

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헤론의 공식은 삼각형의 세 변의 길이를 통해 넓이를 구하는 공식이다.

길이가 각 a, b, c 인 선분으로 이루어진 삼각형이 있을 때, 면적을 S 라 하면,

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

가 성립한다. 여기서,

$s=\frac{a+b+c}{2}$

이다.

직선으로 둘러싸인 도형은 아무리 복잡한 형태를 하고 있다고 해도 반드시 삼각형으로 쪼갤 수 있다. 또, 이 공식을 사용하면 높이를 따로 구할 필요가 없기 때문에, 토지의 면적을 구하는데 편리한 공식으로서도 알려져 있다.

[편집] 역사

이 공식은 알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙었지만, 현재는 공식이 아르키메데스에게서 비롯한 것으로 생각되었거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있을거라고 생각되고 있다.

[편집] 증명

삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c라고 하면, 이 삼각형의 넓이 S는

$S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altitude})$

$= \frac{1}{2} ab\sin(C)$

에서, 코사인 법칙을 이용하면

$\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

$\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$ .

으로, sin C의 값을 얻을 수 있다. 이 값을 원래의 식에 대입하면 $S = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}$ $=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.$ 가 얻어진다.

[편집] 다른 방법

삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c 로 하고, A로부터 BC 또는 그 연장에 내린 수선을 AH라고 하여 h =AH, x =CH (C가 둔각이라면 x < 0)로 놓는다. 피타고라스 정리에 따라,

h 2 = b 2 - x 2 = c 2 - (a - x) 2

이고,

$x=\frac{1}{2a} ( a^2 +b^2 -c^2)$

로부터

$h^2=\frac{1}{4a^2 } (4a^2 b^2-(a^2 +b^2 -c^2 )^2 )$

이 된다.

다시

$S^2 =\frac{1}{4} a^2 h^2 =\frac{1}{16} (4a^2 b^2 - (a^2 +b^2 -c^2 )^2 )$

이 되며, 이를 풀면,

s (s - a)(s - b)(s - c)

인 것을 알 수 있다.

[편집] 일반화

헤론의 공식은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타의 공식의 특별한 경우로 생각할 수 있다.

또한, 헤론의 공식을 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.

$S = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} }$

이 식은 사면체의 부피를 구하는 타르탈리아의 공식과 비슷한 모양을 가지고 있다.

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org../../../%ED%97%A4/%EB%A1%A0/%EC%9D%98/%ED%97%A4%EB%A1%A0%EC%9D%98_%EA%B3%B5%EC%8B%9D.html’

분류: 유클리드 기하학 | 삼각형 | 수학 정리

헤론의 공식

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[편집] 역사

[편집] 증명

[편집] 다른 방법

[편집] 일반화

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