Teorema di Borsuk-Ulam

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Il teorema di Borsuk-Ulam è un teorema di topologia. Asserisce che ogni funzione continua da una sfera in uno spazio euclideo della stessa dimensione manda due punti antipodali sullo stesso punto.

Il teorema è valido in tutte le dimensioni. In particolare, il caso $n = 2$ è spesso descritto nel modo seguente: in qualsiasi momento, esistono sulla Terra due punti antipodali aventi la stessa temperatura e la stessa pressione atmosferica (quantità che si suppongono variare con continuità sulla superficie terrestre).

Il teorema di Borsuk–Ulam fu congetturato inizialmente da Stanislaw Ulam, e quindi dimostrato da Karol Borsuk nel 1933.

[modifica] Il teorema

Teorema: Teorema di Borsuk-Ulam

Il teorema di Borsuk-Ulam dice che per tutte le funzioni $f$ continue di una n-sfera in uno spazio euclideo a $n$ dimensioni, esistono due punti $a$ e $b$ diametralmente opposti tali che:

$f(a) = f(b) \,$

[modifica] Dimostrazione

Si presenta la dimostrazione nel caso delle seguente ipotesi:

$\,f\;$ : S^m → R^m continua con $\,m\;$ = 1, 2 (vale ∀ $\,m\;$ ≥ 1) ⇒ ∃ $\,x\;$ ∈ S^m tale che: $\,f(x)\;$ = $\,f(-x)\;$ .

Dim.

Supposto allora che sia $\,f(x)\;$ ≠ $\,f(-x)\;$ , ∀ $\,x\;$ ∈ S^m →

g : S^m → S^m−1 costruita la $g(x) = {f(x) -f(-x) \over ||f(x) -f(-x)||}$ .

g| : S₊^m circa uguale B^m → S^m−1 continua e tale che: $\,g(-x)\;$ = $\,-g(x)\;$ , ∀ $\,x\;$ ∈ S^m−1 il che è assurdo per il Teorema di Borsuk. Il teorema risulta dimostrato.

[modifica] Corollari

Per il teorema di Borsuk-Ulman, la sfera S^m non è immergibile in R^m. Cioè, nessun sottoinsieme di R^m è omeomorfo a S^m.
Il teorema del punto fisso di Brouwer può essere dimostrato come corollario.