피타고라스의 정리

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빗변의 정사각형의 넓이는 다른 두 정사각형의 넓이의 합과 같다.

피타고라스의 정리(문화어: 세평방 정리)는 직각삼각형의 세 변에 관한 수학 정리이다. 이 정리는 다음과 같다.

임의의 직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓의의 합과 같다.

이때 빗변의 길이를 c, 다른 두 변의 길이를 각각 a, b라고 하면 다음과 같은 식으로 쓸 수 있다.

a 2 + b 2 = c 2

이것은 직각삼각형의 두 밑변의 길이를 알면 그로부터 나머지 한 변의 길이를 계산할 수 있음을 의미한다.

이 성질은 평평한 평면 위의, 즉 유클리드 공간 위의 임의의 직각삼각형에 대해 성립한다.

[편집] 역

피타고라스 정리의 역 또한 참이다.

a 2 + b 2 = c 2

을 만족하는 임의의 양수

a

b

c

에 대해 세 변의 길이가 각각

a

b

c

인 삼각형이 항상 존재하며, 변

a

와

b

사이의 끼인각은 항상 직각삼각형이다.

이는 유클리드의 《원론》에서도 찾아볼 수 있다. 이 명제는 코사인 제2법칙이나 귀류법으로 증명할 수 있다.

[편집] 증명

[편집] 기하학적 증명

오른쪽 그림에서, H는 점 C에서 변 AB에 내린 수선의 발이다. 이때 삼각형 ACH와 삼각형 ABC는 닮음이 되고, 비슷한 이유로 삼각형 CBH와 삼각형 ABC는 닮음이다. 따라서

$\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}\,$

$\frac{CB}{AB}=\frac{HB}{CB}\,$

이 성립한다. 이 두 식을 정리하면

$AC\times AC=AB\times AH$

$CB\times CB=AB\times HB$

이 두 식을 더하면

$AC\times AC+CB\times CB=AB\times AH+AB\times HB=AB\times(AH+HB)=AB\times AB\,$

이 되고, 따라서

$AC^2+BC^2=AB^2\,$

가 성립한다.

[편집] 대수적 증명

오른쪽 그림에서 전체 정사각형의 한 변의 길이는 (a+b)이고, 따라서 넓이는 $(a + b) 2$ 가 된다.

이번에는 부분의 넓이를 각각 구해보면, 가운데 정사각형의 넓이는 $c 2$ , 네 개의 직각삼각형의 넓이는 $a b / 2$ 가 된다. 따라서, 전체 넓이는 $c^2 + 4 \times ab/2 = c^2 + 2ab$ 가 된다. 따라서,

(a + b) 2 = c 2 + 2 a b

a 2 + 2 a b + b 2 = c 2 + 2 a b

a 2 + b 2 = c 2

가 성립한다.

[편집] 바깥 고리

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Category:Pythagorean theorem

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분류: 기하학 | 수학 정리