Теорема Піфагора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Теорема Піфагора — одна з ґрунтовних теорем евклідової геометрії, котра встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважаєтья, що вона доведена грецькийм математиком Піфагором, на честь котрого вона названа.

Зміст

1 Теорема
2 Доведення
3 Узагальнення
4 Історія
5 Див. також
6 Посилання

[ред.] Теорема

Теорема звучить наступним чином:

В прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі рівна сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Позначивши довжину гіпотенузи трикутника як c, а довжини катетів як a та b, отримаємо наступну формулу:

$a^2 + b^2 = c^2.\,$

Таким чином, теорема Піфагора визначає співвідношення, що дозволяє визначити сторону прямокутного трикутника, знаючи довжини двох інших. Теорема Піфагора є частковим випадком теореми косинусів, котра визначає співвідношення між сторонами довільного трикутник.

Також доведено зворотнє твердження (називають також зворотньою до теореми Піфагора):

Для будь-яких трьох додатніх чисел a, b і c, таких що a² + b² = c², існує прямокутний трикутник з катетами a та b і гіпотенузою c.

[ред.] Доведення

Відомо понад сто доведень теореми Піфагора. Тут представлено доведення засноване на теоремі існування площі фігури; (англ. Algebraic proof):

1) Розмістимо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на малюнку.

Квадрати утворюються з чотрьох прямокутних трикутників.

2) Четирикутник зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двух гострих кутів $90^\circ$ , а розгорнутий кут — $180^\circ$ .

3) Площа всієї фігури рівна, с однієї сторони, площаді квадрата зі стороною «a+b», а з іншої сторони сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрату.

$(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2;$

$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2;\frac{}{}$

$c^2=a^2+b^2;\frac{}{}$

Що і необхідно було довеcти.

[ред.] Узагальнення

У випадку ортогональної системи векторів $\{v_k\}\frac{}{}$ має місце рівність, яку теж називають теоремою Піфагора:

$\sum_{k=1}^{n} \|v_k \|^2 = \left\|\sum_{k=1}^{n} v_k \right\|^2.$

Якщо $\{v_k\}\frac{}{}$ — це проекції вектора на координатні вісі, то ця формула співпадає з відстанню Евкліда — і означає, що довжина вектора рівна кореню квадратному суми квадратів його компонентів.

Аналог цієї рівності у випадку нескінченної системи векторів має назву рівності Парсеваля.