Teorema de Pitágoras

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O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da Matemática. Enunciado pela primeira vez pelo filósofo grego Pitágoras, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo. Existe uma mnemónica muito utilizada para aprender o teorema, cujo enunciado coincide com a segunda parte da mnemónica:

ao chegar a Siracusa, Pitágoras disse a seus netos

o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos

Matematicamente, se c designar a hipotenusa e a e b os catetos, vem que:

c² = a² + b²

Existem centenas de demonstrações para o Teorema de Pitágoras. Na verdade ele é o que possui mais demonstrações de todos os teoremas da matemática!

Índice

1 Aplicações do Teorema
- 1.1 Quadrado
- 1.2 Triângulo Equilátero
2 Generalizações
3 O teorema de Pitágoras na Geometria Esférica e Hiperbólica
4 Ver também

[editar] Aplicações do Teorema

O teorema de Pitágoras pode ser aplicado em diversas figuras:

[editar] Quadrado

A diagonal do quadrado divide-o em dois Triângulos Retângulos congruentes, sendo l o lado e d a diagonal, podemos definir que:

$l^2+l^2=d^2\,\!$

$2l^2=d^2\,\!$

$d=\sqrt{2l^2}\,\!$

$d= l \sqrt{2}\,\!$

[editar] Triângulo Equilátero

A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes, sendo l o lado e h a altura, podemos definir que:

$l^2=\frac{l}{2}^2+h^2\,\!$

$l^2=\frac{l^2}{4}+h^2\,\!$

$\frac{4l^2}{4}= \frac{l^2}{4} + \frac{4h^2}{4}\,\!$

$4l^2=l^2+4h^2\,\!$

$4h^2=3l^2\,\!$

$h^2=\frac{3l^2}{4}\,\!$

$h= \sqrt{\frac{3l^2}{4}}\,\!$

$h = \frac{l\sqrt3}{2}\,\!$

[editar] Generalizações

O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo rectângulo conhecendo os outros dois. O teorema dos cossenos permite calculá-lo num triângulo qualquer.

O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex rectângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro rectângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.

[editar] O teorema de Pitágoras na Geometria Esférica e Hiperbólica

Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os seus catetos. O Teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas: