Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Web Analytics
Cookie Policy Terms and Conditions Pytagorova veta - Wikipédia

Pytagorova veta

Z Wikipédie

Ilustrácia Pytagorovej vety.
Ilustrácia Pytagorovej vety.

Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto:

obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

a2 + b2 = c2,

kde a, bdĺžky odvesien a c je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.

Obsah

[úprava] Dejiny

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samosu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne , Egypte).

[úprava] Zovšeobecnenie Pytagorovej vety

[úprava] Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami

Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou.

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti k je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca k-násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou k a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

[úprava] Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Hilbertovom priestore

Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom (t. j. Hilbertov priestor). Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, pre ktoré platí

\mathbf{c} = \mathbf{b} - \mathbf{a}\qquad\mathbf{a} \perp \mathbf{b}.

Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka:

\|\mathbf{a}\|^2 + \|\mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{c}\|^2,

kde \|\cdot \| je norma príslušného vektorového priestoru. Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C označíme

\mathbf{a} = B - C,\ \ \mathbf{b} = A - C, \ \ \mathbf{c} = A - B,

potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

[úprava] Dôkazy Pytagorovej vety

Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich.

[úprava] Dôkaz číslo 1

K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi.
K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi.

Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou a + b je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):

  • zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami a a b
  • zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou c.

Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

[úprava] Dôkaz číslo 2

Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

  • Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka a a b. Pre jeho obsah teda platí:
S = (a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
  • Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou c. Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov (\begin{matrix}4\frac{ab}{2}=2ab\end{matrix}) a bieleho štvorca so stranou c (c2). Obsah celého obrazca je daný vzorcom
S = 2ab + c2.

Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý švorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare

a2 + b2 = c2.

[úprava] Dôkaz číslo 3

K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov.
K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov.

Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly (DCB a DAC, ktorý sa rovná uhlu BAC) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).

[úprava] Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov)

Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° (π rad). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):

  1. \mathit{|BAC| + |ACB| + |CBA|} = 180^\circ
  2. \mathit{|CBD| + |BDC| + |DCB|} = 180^\circ
  3. \mathit{|DAC| + |ACD| + |CDA|} = 180^\circ

z uvedeného vyplýva, že

  1. \mathit{|BAC| + |CBA|} = 90^\circ
  2. \mathit{|CBD| + |DCB|} = 90^\circ
  3. \mathit{|DAC| + |ACD|} = 90^\circ

Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly BAC a DAC sú zhodné), že platí |CBA| = |ACD|. Ak CBA dosadíme do 3. rovnice na miesto ACD, z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí |BCD| = |DAC|. Trojuholníky sú si teda podobné.

[úprava] Samotný dôkaz

Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že

a/p = c/a \quad \Rightarrow\quad a^2/p = c \quad \Rightarrow\quad a^2 = cp

a rovnako platí aj

b/q = c/b\quad\Rightarrow\quad b^2/q = c\quad \Rightarrow \quad b^2 = cq.

Z oboch rovníc potom vyplýva, že

a^2 + b^2 = cp + cq\quad \Rightarrow\quad a^2 + b^2 = c(p+q).

Zo spomínaného obrázka vyplýva, že c = p + q, čo po dosadení dá:

a2 + b2 = c2.

[úprava] Pytagorejské čísla

Viac informácií v samostatnom článku Pytagorejské čísla.

Pytagorejské čísla tvoria trojice prirodzených čísel a, b a c, pre ktoré platí a2 + b2 = c2. Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.

[úprava] Externé odkazy

Wikimedia Commons ponúka multimediálny obsah k téme
Pytagorova veta


Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu