Wortelformule

Van Wikipedia

Met behulp van de wortelformule of abc-formule kunnen de oplossingen van een kwadratische, of vierkantsvergelijking worden gevonden. De oplossingen worden ook de wortels of nulpunten van de betrokken veelterm genoemd.

Bij een gegeven vierkantsvergelijking:

,

zijn er drie gevallen te onderscheiden, namelijk:

1. b² - 4ac > 0 met twee oplossingen
2. b² - 4ac = 0 met een oplossing (anders gezegd: twee dezelfde)
3. b² - 4ac < 0 met geen (reële) oplossing

Vaak wordt b² - 4ac aangeduid met de term discriminant. Als de discriminant kleiner is dan 0, zijn er geen reële wortels.

In het eerste geval heeft de vergelijking twee verschillende reële oplossingen, in het tweede geval heeft de vergelijking twee samenvallende reële oplossingen en in het derde geval twee complexe verschillende oplossingen. In dit laatste geval zijn de twee oplossingen elkaars complex toegevoegde.

De oplossing(en) zijn te vinden met de formule:

die wortelformule of abc-formule wordt genoemd.

In het geval van een negatieve discriminant kan men de oplossingen ook schrijven als:

[bewerk] Afleiding van de wortelformule

Om de vergelijking op te lossen splitsen we een kwadraat af. Dat gaat het gemakkelijkst als de term met x² als een eenvoudig kwadraat geschreven wordt en de term met het "dubbele product", dus met x, ook inderdaad een factor 2 heeft. Daarom herschrijven we:

[bewerk] Alternatieve vorm

Een alternatieve vorm voor het schrijven van de oplossing is

Deze alternatieve vorm geeft in het geval dat b² veel groter is dan 4ac op een rekenmachine of computer meer accurate numerieke benaderingen dan de gewone vorm.