Vierkantsvergelijking
Van Wikipedia
In de wiskunde is een vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking of tweedegraadsvergelijking een vergelijking van de vorm:
- ,
waarin a, b en c (reële of complexe) constanten zijn, met .
Het oplossen van een vierkantsvergelijking is bijvoorbeeld aan de orde bij het bepalen van de nulpunten van een kwadratische functie.
[bewerk] Oplosmethode
Het getal D: = b2 − 4ac wordt de discriminant van de vergelijking genoemd. Voor vergelijkingen met reële coëfficiënten geeft de waarde van D de grootte aan van de reële oplossingsverzameling:
- Als D > 0, zijn er twee verschillende reële oplossingen x1 en x2.
- Als D = 0, zijn er twee gelijke reële oplossingen x1 = x2.
- Als D < 0, zijn er geen reële oplossingen van de vergelijking.
De oplossingen kunnen bepaald worden met de zogenaamde abc-formule (zie aldaar voor de afleiding daarvan):
- .
De formule voor de oplossingen kan ook in de volgende vorm geschreven worden:
- .
[bewerk] Formules van Viète
De twee oplossingen (al dan niet verschillend of complex) voldoen aan de zgn. formules van Viète:
Dit volgt direct uit de bovengenoemde formule voor de oplossingen, maar is ook eenvoudig in te zien door te schrijven:
- ,
waarna uitwerking van het rechterlid leidt tot:
en
- .
[bewerk] Voorbeeld
Beschouw de volgende vergelijking:
Dan geldt a = 1, b = 0 en c = –1. Er volgt: D = 4 > 0. Er zijn twee oplossingen, die gegeven worden door:
Bovenstaande vergelijking kan ook worden geschreven als:
Hieruit volgt ook dat:
- of