Quadratische Gleichung

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Unter einer Quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung der Form

a x 2 + b x + c = 0.

Dabei sind $a, b, c$ Zahlen und $x$ die Unbekannte. Die linke Seite dieser Gleichung ist also ein beliebiges Polynom des Grades 2.

Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung die x-Koordinaten der Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse in der x-y-Ebene.

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine Form und Normalform
- 1.1 Beispiel
2 Lösungen der quadratischen Gleichung
3 Herleitung der Lösungsformel
4 (Reelle) Lösung mit Zirkel und Lineal
5 Verallgemeinerung (abstrakte Algebra)
6 Siehe auch
7 Weblinks

[Bearbeiten] Allgemeine Form und Normalform

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet

$a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \qquad (a, b, c \in \mathbb{R})$ .

Durch geeignete Äquivalenzumformung lässt sich diese allgemeine Form in die Normalform einer quadratischen Gleichung überführen. Es werden alle Terme auf eine Seite gebracht, nach fallendem Exponenten geordnet und durch den Koeffizienten des quadratischen Terms, hier $a\,$ , dividiert. Es ergibt sich somit

$x^2 + p \cdot x + q = 0 \qquad (p,q \in \mathbb{R})$ .

Dabei heißen

$x^2\,$ quadratisches Glied,
$p \cdot x\,$ lineares Glied und
$q\,$ absolutes Glied der Gleichung.

$p\,$ und $q\,$ können komplexe Zahlen sein.

[Bearbeiten] Beispiel

Allgemeine Form:

$-4 \cdot x^2 +12 \cdot x + 30 = -10$

Allgemeine Form (alle Terme auf eine Seite):

$-4 \cdot x^2 + 12 \cdot x + 40 = 0$

In Normalform:

$x^2 - 3 \cdot x - 10 = 0$

[Bearbeiten] Lösungen der quadratischen Gleichung

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jede quadratische Gleichung (mit reellen oder komplexen Koeffizienten) zwei Lösungen, auch Wurzeln genannt. Die Lösungen sind im Allgemeinen komplexe Zahlen und nicht notwendigerweise reelle Zahlen.

Wenn man sich auf die reellen Zahlen beschränkt, gibt es genau drei mögliche Fälle:

Es gibt zwei unterschiedliche Lösungen,
es gibt eine (doppelte) Lösung, das heißt eine Zahl tritt zweimal als Lösung auf oder
es gibt keine Lösung.

Wenn man sich auf reelle Lösungen beschränkt, sind manche quadratischen Gleichungen somit nicht auflösbar. Es lassen sich immer zwei Lösungen finden, wenn die Betrachtungen auf die komplexen Zahlen ausgedehnt werden.

Sind die Koeffizienten reelle Zahlen, dann sind entweder beide Wurzeln reell oder beide komplex.

[Bearbeiten] Lösungsformeln

Zum Finden von Lösungen einer quadratischen Gleichung kann man die quadratische Ergänzung benutzen. Da die quadratische Gleichung stets die gleiche Struktur aufweist, bietet es sich an, eine allgemeinere Formel herzuleiten. Es ergeben sich zwei Lösungsformeln, die als abc-Formel (auch Mitternachtsformel, weil jeder mitten in der Nacht geweckte Schüler diese Formel ohne nachzudenken aufsagen können soll) und als p-q-Formel bekannt sind.

In ihrer allgemeinen Form

$ax^2+bx+c=0, \quad a\neq 0$

hat die quadratische Gleichung die Lösungen

$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (a-b-c-Formel oder Mitternachtsformel)

oder (falls auch $c\neq 0$ ) gleichwertig

$x_{1,2} = \frac{2c}{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}$ .

Im normierten Fall, der sich durch Division beider Seiten der Gleichung durch $a$ erreichen lässt,

$x^2+px+q=0 \quad$

lauten die Lösungen nach der p-q-Formel

$x_{1,2} \;=\; - \frac{p}{2}\pm\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q } \;\ =\;\ - \frac{p}{2}\pm\sqrt{ \frac{p^2}{4} - q }$ .

Mit den Lösungen lässt sich das quadratische normierte Polynom in Linearfaktoren zerlegen:

$x^2 + p \cdot x + q = ( x - x_1 ) \cdot ( x - x_2 )$

und das nicht normierte in

$a\cdot x^2 + b\cdot x + c = a\cdot( x - x_1 ) \cdot ( x - x_2 )$

[Bearbeiten] Anzahl der reellen Nullstellen

Lage der quadratischen Parabeln und Auswirkungen auf die Zahl der Nullstellen

Der Ausdruck unter der Wurzel (die Diskriminante $D = b 2 - 4 a c$ ) bestimmt für eine Gleichung mit reellen Koeffizienten, wie viele reellwertige Lösungen die Gleichung hat. Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen Nullstellen und Diskriminante. Man kann drei Fälle unterscheiden:

D > 0: Die Parabel (A) hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, es gibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen x₁ und x₂,
D = 0: Die Parabel (B) hat einen Berührpunkt mit der x-Achse, es ist x₁ = x₂. Der Berührpunkt ist gleichzeitig auch ein Maximum (a<0) bzw. Minimum (a>0) und die quadratische Gleichung lässt sich auf die Form $a \cdot x^2 + b \cdot x + c = a \cdot (x - x_1)^2$ bringen.
D < 0, Die Parabel (C) hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, es gibt keine reelle Lösung der quadratischen Gleichung.

[Bearbeiten] Numerische Berechnung

Wenn die Lösungen numerisch ermittelt werden und sich um Größenordnungen voneinander unterscheiden, kann durch folgende Variation der obigen Formeln das Problem der Auslöschung vermieden werden:

$x_1 = - \frac{p}{2} - \sgn(p) \cdot \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }$

$x_2 = \frac{q}{x_1}$

Hier ist sgn(p) die Signum-Funktion; die zweite Formel beruht auf dem Satz von Vieta.

[Bearbeiten] Beispiele

$x^2 - 12 \cdot x + 35 = 0$	Beide Lösungen sind positiv: x₁ = 5 und x₂ = 7
$x^2 + 2 \cdot x - 35 = 0$	Die Lösungen haben unterschiedliches Vorzeichen: x₁ = −7 und x₂ = 5
$x^2 - 4 \cdot x + 4 = 0$	Die Diskriminante ist D = 0. Die (doppelte) Lösung ist x = 2.
$x^2 + 12 \cdot x + 37 = 0$	Es gibt keine reellen Lösungen, denn die Diskriminante ist negativ. Die komplexen Lösungen ergeben sich zu x₁ = −6 + i und x₂ = −6 − i. Hierbei bezeichnet i die Imaginäre Einheit.

[Bearbeiten] Herleitung der Lösungsformel

Man erhält die Mitternachtsformel durch Quadratische Ergänzung.

$\, ax^2+bx+c=0$	Beide Seiten mit $a \neq 0$ multiplizieren
$\, a^2x^2 +abx + ac = 0$	Quadratische Ergänzung mit $\frac{b^2}{4}$
$a^2x^2 +abx + \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{4} + ac = 0$	Anwenden der 1. Binomischen Formel und umordnen
$\left ( ax+\frac{b}{2} \right ) ^2 = \frac{b^2}{4}-ac$	Auf beiden Seiten wird die Quadratwurzel gezogen; man erhält i.A. zwei Lösungen.
$a \cdot x_{1,2}+\frac{b}{2} = \pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-ac}$	Auflösen nach $x 1,2$
$x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{\frac{b^2}{4}-ac} }{a}$	Hinteren Bruch mit 2 erweitern und beide Brüche zusammenfassen
$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

[Bearbeiten] (Reelle) Lösung mit Zirkel und Lineal

Man macht sich bei der Lösung mit Zirkel und Lineal die Satzgruppe von Vieta zu nutze, von deren Richtigkeit man sich durch einfaches Ausrechnen überzeugt:

$x_1\cdot x_2= \left (- \frac{p}{2}+\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }\right )\cdot \left ( -\frac{p}{2}-\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }\right )= \left ({p\over 2}\right )^2 - \left ( \left ({p\over 2}\right )^2 -q \right ) = +q$ ,

sowie

$x_1+ x_2= \left (- \frac{p}{2}+\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }\right )+ \left ( -\frac{p}{2}-\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right )^2-q}\right )= -2\cdot{p\over 2} = -p$ .

Im ersten Falle seien $0 < q \leq \left ( {p \over 2} \right )$ und $p\in \mathbb{R}$ gegeben. Wir bezeichnen mit $p$ nun die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Länge $\vert p \vert$ . Schlägt man den Thaleskreis über $p$ und sucht auf diesem die Punkte mit Abstand $\sqrt{q}$ , so teilt jeweils deren Lot auf $p$ die Seite $p$ im Verhältnis $\vert x_1 \vert : \vert x_2 \vert.$

Zur Konstruktion ermittle man zunächst $\sqrt{q}$ , indem man eine Strecke der Länge $q + 1$ abtrage, darüber den Thaleskreis schlage und diese Strecke im Verhältnis $q :1$ durch eine Senkrechte teile. Der Schnittpunkt der Senkrechten mit dem Thaleskreis bildet mit den Eckpunkten der konstruierten Strecke ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe der Hypotenuse hat gerade die Länge $\sqrt{q}$ , was aus dem Höhensatz folgt.
Sodann konstruiere man eine Strecke $p$ mit Länge $\vert p\vert$ und schlage den Thaleskreis darüber. Anschließend errichte man an den Eckpunkten von $p$ (nach einer Seite hin) Senkrechten, auf denen man zwei Punkte im Abstand $\sqrt{q}$ abtrage. Die Verbindungslinien dieser beiden Punkte bildet eine Sehne durch den Thaleskreis.
Jeder dieser Schnittpunkte hat offenbar den Abstand $\sqrt{q}$ zu der Seite $p$ . An einem der Schnittpunkte dieser Sehne mit dem Thaleskreis konstruiere man ein Dreieck mit der Seite $p$ . Die Höhe der Seite $p$ teilt diese Seite im Verhältnis $\vert x_1\vert :\vert x_2\vert$ .
Erklärung: Bezeichnet man die so gewonnenen beiden Teile der Seite $p$ als $x 1$ und $x 2$ , so ist zum einen nach dem Höhensatz $\vert x_1\vert \cdot \vert x_2\vert = \sqrt{q}^2 = q$ zum anderen gilt $\vert x_1\vert + \vert x_2\vert = \vert p \vert$ . Beides trifft aber auch auf die Lösungen des Satzes von Vieta zu und damit sind dies die gesuchten Lösungen.

Im zweiten Falle seien $q < 0$ und $p\in \mathbb{R}$ . Wir erhalten damit für die quadratische Gleichung eine positive und eine negative Lösung. Um $\vert x_1\vert$ und $\vert x_2 \vert$ wieder als durch die Höhe getrennte Teile der Hypotenuse eines Dreiecks zu erhalten, konstruiere man wie folgt eine Strecke $c$ mit der Länge $\vert x_1 \vert + \vert x_2\vert$ .
Da $q < 0$ ersetzen wir $- q$ kurzerhand durch $+\vert q\vert$ .
Für $x 1$ ist aber $- {p\over 2} + \sqrt{ \left ( {p\over 2}\right )^2 +\vert q\vert }$ stets positiv, da der Wurzelterm offensichtlich stets größer als ${p\over 2}$ ist. Damit ist $\vert x_1\vert = x_1$ . Sicherlich ist $x 2$ stets negativ und daher ist $\vert x_2 \vert = -x_2$ . Es gilt mithin $\vert x_1\vert +\vert x_2 \vert = x_1 - x_2 = 2\cdot \sqrt{ \left ({p\over 2} \right )^2 +\vert q\vert} = \sqrt{ p^2+ \left(2\cdot \sqrt{ \vert q\vert}\right )^2 }.$ Letzteres entspricht nach dem Satz des Pythagoras der Länge einer Hypotenuse über zwei Katheten der Länge $\vert p\vert$ und $2\cdot \sqrt{ \vert q\vert}$ .

Damit ist klar, was zu tun ist. Man konstruiere wieder $\sqrt{\vert q\vert }$ wie oben beschrieben, trage bei zwei aufeinander senkrecht stehenden Strahlen an einem $\vert p\vert$ und an dem anderen $2\cdot \sqrt{\vert q\vert }$ ab und ziehe zwischen den Verbindungslinien eine Strecke. Über dieser Strecke schlage man den Thaleskreis, suche auf diesem einen Punkt mit Abstand $\sqrt{\vert q\vert}$ wie oben beschrieben und konstruiere aus diesem und den Eckpunkten der Strecke ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe der Strecke teilt die Strecke genau im Verhältnis $\vert x_1\vert :\vert x_2\vert$ .

[Bearbeiten] Verallgemeinerung (abstrakte Algebra)

Allgemein nennt man eine Gleichung der Form

x² + p·x + q = 0

mit Elementen p, q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung. In einem Körper und bestimmten Ringen (faktorielle Ringe) hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei haben. Falls Lösungen in dem betrachteten Ring oder Körper existieren, dann erhält man sie ebenfalls mit der pq-Formel, falls die Charakteristik des Ringes/Körpers ungleich 2 ist. Hierbei sind allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante zu berücksichtigen.

Z.B. hat die quadratische Gleichung

x² - 1 = 0

im Restklassenring $\Z/8\Z$ die vier Lösungen 1, 3, 5, 7.

[Bearbeiten] Siehe auch

Lineare Gleichung
Kubische Gleichung
Biquadratische Gleichung (auch Quartische Gleichung genannt)

[Bearbeiten] Weblinks

http://www.bennoehr.com/qua-glei.htm
- Javascript zur Lösung einer quadratischen Gleichung mit Ausgabe von Normalform, Radikand und Lösungsmenge
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/quadratischegleichungen.htm
- Übungen zu quadratischen Gleichungen mit Korrektur (Javascript)
http://formularium.org/?go=101
- Formelblatt um die Gleichung direkt mit eigenen Werten auszuprobieren inkl. Excel-Export

Von „http://de.wikipedia.org../../../q/u/a/Quadratische_Gleichung_ab3f.html“

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