二次方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

二次方程式（にじほうていしき、quadratic equation）は、方程式の一種で、2 次の多項式の零点について記述する方程式のことである。一般に n 変数多項式に関する方程式

$0 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j}x_i x_j + \sum_{k=1}^n b_k x_k + c$

（ただし、a_i,j, b_k, c は定数、かつ少なくとも 1 つの a_i,j + a_j,i が 0 でない）のことを n 変数二次方程式、n 元二次方程式などと呼ぶ。これらについては（特に実数係数のものについて）その零点集合に対する幾何学的考察が歴史的に行われ、よく知られている（二元二次方程式については円錐曲線を、一般の多変数二次方程式については二次曲面を参照されるとよい）。

以下、本項では 1 変数の二次方程式

a x 2 + b x + c = 0

（a, b, c は定数かつ a ≠ 0）を扱い、単に「二次方程式」といえば 1 変数のものであるとして記述する。

[編集] 定義

二次方程式とは、次数 2 の代数方程式のことである。定義に従えば、

(*)

a x 2 + b x + c = 0

（a ≠ 0, b, c は定数）と表される。これを二次方程式の一般形 (generalized form) という。さらに二次方程式について、いくつかの特徴をもつ特殊な形が考えられる。本項では便宜的に以下の用語を用いる。

2 次の項の係数が 1 の方程式

(**)

x 2 + p x + q = 0

（p, q は定数）を二次の整方程式あるいは二次方程式の正規形 (normal form) と呼ぶ。一般形の方程式 (*) の両辺を a ≠ 0 で割り、正規形にすることができる（正規化）：

(***) $p = \frac{b}{a},\ q = \frac{c}{a}.$

またさらに、見かけ上 1 次の項のない方程式

k (x + l) 2 + m = 0

（k ≠ 0, l, m は定数）を二次方程式の標準形 (standard form) と呼ぶ。これは変数を t = x + l と変換すれば t に関して実際に 1 次の項を持たない方程式 kt² + m = 0 である。

[編集] 平方完成

二次式において $\left( x - \alpha \right)^2$ の形の項を作り出す変形のことを平方完成という。

平方完成により、例えば、係数が標数 $2$ でない体ならば正規形の方程式 (**) は標準形にすることができる。二次式

x 2 + p x + q

に対し、公式 $\left( x + y \right)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ を利用するため

$x^2 + 2\left(\frac{p}{2}\right)x + q$

とみなし、 $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ を加えて引くことで

$\left\{x^2 + 2\left(\frac{p}{2}\right)x + \left(\frac{p}{2}\right)^2\right\} + \left\{-\left(\frac{p}{2}\right)^2 + q\right\}$

としてからまとめると

$\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p^2}{4} - q\right)$

となる。したがって、 $t = x + \frac{p}{2}, m = \frac{p^2}{4} - q$ と置いてやると

$x^2+px+q = 0 \iff t^2 - m = 0$

となり、変数 $t$ に関する標準形の方程式が得られる。

平方完成の技法は、この他にも、円錐曲線の標準化などに用いられる。

[編集] 二次方程式の根

正規化された標準形二次方程式 x² - m = 0 の根は m の平方根と呼ばれる。任意に選び出された 1 つの根を √m で表すことがある。特に x² + 1 = 0 の根、すなわち -1 の平方根は虚数単位と呼ばれる。
根と係数の関係：正規形の方程式 (**) の根が α, β であるとき

$-p = \alpha + \beta,\ q = \alpha\beta.$
係数が体や整域でない一般の環の元であるとき、二次方程式の根の数は 2 つとは限らない。
有理数係数の二次方程式の根となる無理数を二次の無理数と呼ぶ。有理数体に二次の無理数を添加した体を二次体という。