Kvadratická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kvadratická rovnice v matematice označuje algebraickou rovnici druhého stupně, tzn. rovnici o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje (nejvýše) ve druhé mocnině (x²). V základním tvaru vypadá následovně:

a x 2 + b x + c = 0

Zde jsou a, b, c nějaká reálná čísla, tzv. koeficienty této rovnice (a se nazývá kvadratický koeficient, b je lineární koeficient, c je absolutní člen), x je neznámá. a je různé od nuly, neboť pro a=0 se jedná o lineární rovnici. Často se kvadratická rovnice vyjadřuje v základním tvaru, kde a=1. Do tohoto tvaru lze převést každou kvadratickou rovnici jejím vydělením koeficientem a.

[editovat] Řešení rovnice

x²−x+1: Celá parabola je nad osou x.

Při řešení rovnice se nejprve vypočítá tzv. diskriminant $D = b 2 - 4 a c$ . Podle jeho hodnoty pak mohou nastat tři případy:

D=0, tehdy má rovnice jedno (tzv. dvojnásobné) řešení $x = \frac{-b}{2a}$ . Původní rovnici je možno zapsat ve tvaru $a(x + \frac{b}{2a})^2 = 0$ .
D>0, tehdy má rovnice dvě různá reálná řešení $x_{1,2}=\frac{-b \plusmn \sqrt{D}}{2a}$ . Rovnici je možno zapsat ve tvaru $a (x - x 1)(x - x 2) = 0$ .
D<0, tehdy rovnice nemá v reálném oboru řešení. Jejím řešením jsou dvě komplexně sdružená čísla $x_{1,2}=\frac{-b \plusmn i \sqrt{-D}}{2a}$ . Rovnici je opět možné napsat ve tvaru $a (x - x 1)(x - x 2) = 0$ , ovšem kořeny x_1,2 jsou nyní komplexní čísla.

−x²−2x−2: Celá parabola je pod osou x.

[editovat] Komplexní koeficienty

V nejobecnějším případě jsou také koeficienty $a, b, c$ komplexní čísla. Řešení získáme opět výpočtem diskriminantu $D = b 2 - 4 a c$ a jeho druhé odmocniny v oboru komplexních čísel. Vzorec řešení je stejný jako v případě reálných koeficientů. $x_{1,2}=\frac{-b \plusmn \sqrt{D}}{2a}$ . Výsledkem jsou obecně dvě komplexní čísla, mezi nimiž nemusí být žádný vztah. Rovnici je opět možné napsat ve tvaru $a (x - x 1)(x - x 2) = 0$ . V případě nulového diskriminantu obě řešení splývají v jedno komplexní číslo $x 0$ a rovnice má tvar $a (x - x 0) 2 = 0$ .

−x²+2x−1: Parabola se dotýká osy x.

[editovat] Další rovnosti

Pro kořeny rovnice platí následující rovnosti (jedná se o speciální případ tzv. Vièteho vztahů):

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

[editovat] Geometrický význam

x²−5x+2: Osa x parabolu protíná.

Levá strana rovnice (ax² + bx + c) popisuje parabolu s osou rovnoběžnou s osou y. Pokud je a>0, je parabola otevřená směrem nahoru (má vrchol dole), při a<0 je otevřená dolů (vrchol je nahoře). Řešení kvadratické rovnice odpovídá hledání průsečíků této paraboly s osou x (pravá strana z rovnice dělá výraz y=0). Podle polohy paraboly mohou nastat tři případy:

Parabola leží celá nad (pro a>0) nebo celá pod (pro a<0) osou x. To nastane v případě, že D<0. Tehdy parabola nemá žádný průsečík s osou x, což znamená, že kvadratická rovnice nemá v reálných číslech řešení.
Vrchol paraboly leží právě na ose x. To nastane v případě, že D=0. Tehdy se parabola osy x dotýká, tzn. má s ní jeden společný bod (právě vrchol paraboly), tzn. kvadratická rovnice má jedno řešení.
V ostatních případech osa x parabolu protíná ve dvou bodech. To nastane v případě, že D>0. Tehdy existují dva průsečíky osy x s parabolou, tzn. rovnice má dvě různá řešení.