Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Cookie Policy Terms and Conditions Andragradsekvation - Wikipedia, den fria encyklopedin

Andragradsekvation

Wikipedia

Denna artikel behandlar andragradsekvationer med en obekant.

I matematiken är en andragradsekvation en ekvation på den allmänna formen

$ax^2+bx+c=0; \quad a \ne 0$

Talen a, b och c kallas ekvationens koefficienter.

Innehåll

1 Lösning av ekvationen
- 1.1 Härledning
2 Samband mellan rötter och koefficienter
- 2.1 Härledning
3 Se även

[redigera] Lösning av ekvationen

En andragradsekvation med reella eller komplexa koefficienter har enligt algebrans fundamentalsats två (eventuellt sammanfallande) rötter (dvs lösningar).

Om koefficienterna är reella tal och $b^2\ge 4ac$ , kan dessa får ur

$x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.$

Om uttrycket under rottecknet är

större än noll, är rötterna olika och reella
lika med noll, är rötterna lika och reella

Om $b 2 < 4 a c$ är rötterna olika och komplexa, och formeln ovan får formellt inte användas.

Genom att dividera med a kan ekvationen skrivas

$\ x^2+px+q=0$

och rötterna fås, om $\left(\frac{p}{2}\right)^2 \ge q$ , ur

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }$ .

Om $\left(\frac{p}{2}\right)^2 < q$ gäller i stället formeln

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm i\sqrt{q-\left(\frac{p}{2}\right)^2}$ ,

eftersom uttrycket under kvadratroten måste vara ett icke-negativt reellt tal. Dessa lösningar är komplexa tal.

[redigera] Härledning

Formeln för andragradsekvationens rötter kan härledas genom att tillämpa kvadratkomplettering:

$\ ax^2+bx+c=0$

Dela ekvationen med a, vilket ger

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0$

Kvadratkomplettering ger:

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=0$

och

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}=0$

Med hjälp av konjugatregeln får man, om $b^2\ge 4ac$ :

$\left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)=0$

vilket ger rötterna $x_1= -\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ och $x_2= -\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Om $\ b^2< 4ac$ ger konjugatregeln istället

$\left(x+\frac{b}{2a}+i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\right)=0$

med rötterna $x_1= -\frac{b+i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$ och $x_2= -\frac{b-i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$

Metoden med kvadratkomplettering fungerar även för ekvationer med komplexa koefficienter.

[redigera] Samband mellan rötter och koefficienter

Om ekvationen skrivs på formen $\ x^2+px+q=0$ gäller följande samband med dess lösningar:

$\begin{cases} p=-(x_1+x_2) \\ q=x_1\cdot x_2 \end{cases}$

Exempelvis har exvationen $\ x^2-7x+12=0$ lösningarna $\ x_1=3$ och $\ x_2=4$ .

[redigera] Härledning

$\left(x-a\right)\left(x-b\right)=0$ har rötterna $\ x_1=a$ och $\ x_2=b$ .

Utveckling av parenteserna ger:

$\left(x-a\right)\left(x-b\right)=x^2-ax-bx+ba=x^2-\left( a+b\right)x+ba$

[redigera] Se även

Den här artikeln är hämtad från http://sv.wikipedia.org../../../a/n/d/Andragradsekvation.html

Kategorier: Ekvationer | Grundläggande algebra

Views

Sök

Andra språk

Web Analytics

Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu