Bernhard Riemann

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Georg Friedrich Bernhard Riemann (* 17. September 1826 in Breselenz bei Dannenberg (Elbe); † 20. Juli 1866 in Selasca am Lago Maggiore) war ein deutscher Mathematiker.

Inhaltsverzeichnis 1 Leben 1.1 Herkunft und Jugend 1.2 Studium 1.3 Professor in Göttingen, Reisen und Ende 2 Werk 2.1 Geometrie 2.2 Funktionentheorie 2.3 Zahlentheorie 2.4 Reelle Funktionen, Fourierreihen, Riemannintegral, Hypergeometrische Differentialgleichung 2.5 Mathematische Physik, Naturphilosophie 2.6 Wirkung und Würdigung 3 Werke 4 Literatur 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 Quellen und Fussnoten

[Bearbeiten] Leben

[Bearbeiten] Herkunft und Jugend

Bernhard Riemann wurde als Sohn eines lutheranischen Pastors geboren und wuchs als eines von 5 Kindern unter beengten Verhältnissen auf. Seine Mutter, die Tochter des Hofrats Ebell in Hannover, war früh verstorben (1846) und sein Vater Friedrch Bernhard Riemann, der aus Boizenburg stammte, an den Befreiungskriegen (Armee von Wallmoden) teilnahm und zuletzt in Quickborn Pastor war, starb 1855. Riemann hielt stets enge Verbindung zu seiner Familie. Er besuchte 1840-1842 das Gymnasium in Hannover, danach bis 1846 das Lyzeum in Lüneburg, wobei er den katastrophalen Brand Hamburgs in der Ferne beobachten konnte. Schon damals fielen seine mathematischen Fähigkeiten auf. Ein Lehrer (der Rektor Schmalfuss) lieh ihm Legendres Zahlentheorie, ein schwieriges Werk von 900 Seiten, bekam sie aber schon 1 Woche später zurück und fand als er Riemann im Abitur weit über das Übliche hinaus prüfte, dass Riemann sie sich vollständig zu eigen gemacht hatte.

[Bearbeiten] Studium

Er sollte zunächst Theologe wie sein Vater werden, und hatte dazu schon in Lüneburg neben Latein und Griechisch auch Hebräisch gelernt, wechselte dann aber in Göttingen zur Mathematik. Von 1846-1847 studierte er in Göttingen u.a. bei Moritz Stern, Listing - einem Pionier der Topologie (1847 schrieb er ein Buch darüber) - und Gauss, der aber nur noch (selten) über angewandte Themen wie seine Methode der kleinsten Quadrate las. 1847-1849 hörte er in Berlin Vorlesungen von Peter Gustav Dirichlet über partielle Differentialgleichungen, bei Jacobi und Gotthold Eisenstein - mit dem er nähere Bekanntschaft schloss - über elliptische Funktionen, bei Steiner Geometrie. 1849 war er wieder in Göttingen und Assistent beim Physiker Wilhelm Weber. Dort promovierte er 1851 und habilitierte sich 1854.

[Bearbeiten] Professor in Göttingen, Reisen und Ende

Ab 1857 hatte er dort eine außerordentliche Professur. Im selben Jahr zogen seine zwei verbleibenden Schwestern zu ihm, für die nach dem Tod seines Bruders von seinem schmalen Gehalt sorgen musste (zur damaligen Zeit bestand das Gehalt eines Professors zum grossen Teil aus Hörergeldern, und je anspruchsvoller die Vorlesung, desto weniger Hörer). Er erleidet aus Überarbeitung einen Zusammenbruch und begibt sich zur Erholung nach Bad Harzburg zu Dedekind. 1858 besuchen ihn die italienischen Mathematiker Brioschi, Betti und Casorati in Göttingen, mit denen er sich befreundet und denen er topologische Ideen vermittelt. Nach Dirichlets Tod 1859 wurde er zu dessen Nachfolger auf den Lehrstuhl von Gauß zum ordentlichen Professor berufen. Im selben Jahr besucht er auch Berlin und trifft dort Kummer, Weierstrass, Kronecker. 1860 besucht er Paris und trifft Puiseux, Bertrand, Hermite, Briot und Bouquet. 1862 heiratete er Elise Koch, eine Freundin seiner Schwestern, mit der er eine Tochter hatte. Er hält sich jetzt länger in Italien auf und trifft seine italienischen Mathematikerfreunde wieder. Auf der Rückkehr von einer Italienreise 1862 verschlechterte sich sein Gesundheitszustand. Riemann litt an Tuberkulose. Auch längere Aufenthalte im milden Klima Italiens konnten die Krankheit nicht heilen. Er starb im Alter von 39 Jahren auf dem Weg zu seiner dritten Italienreise am Lago Maggiore, wo er auch begraben ist.

[Bearbeiten] Werk

Trotz seines kurzen Lebens wurde Riemann zu einem der herausragendsten Mathematiker, dessen Werk bis heute von großer Bedeutung für die Naturwissenschaften ist. Zum einen gehörte er zu Begründern der Funktionentheorie, der Lehre von den Funktionen der komplexen Veränderlichen. Zum anderen gilt er als Begründer der Riemannschen Geometrie als einer der Wegbereiter von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie.

[Bearbeiten] Geometrie

Veröffentlicht hat er seine Ideen zur " Riemannschen Geometrie", d.h. Differentialgeometrie in beliebig vielen Dimensionen mit lokal definierter Metrik, nur in seinem Habilitationsvortrag 1854, den er noch in Gegenwart des tief beeindruckten Carl Friedrich Gauss hielt. Er hatte mehrere Themen vorgeschlagen und die "Hypothesen, welche der Geometrie zugrundeliegen" nur als letztes aufgeführt^[1]. Gauss wählte (was eigentlich unüblich ist) gezielt dieses Thema. In dem Vortrag musste sich Riemann gezwungenermassen für einen breiteren Kreis verständlich ausdrücken und es kommen deshalb nur wenige Formeln vor. In einer Pariser Preisschrift (publiziert erst 1876 in den Gesammelten Werken) deutet er die konkretere Ausführung seiner Vorstellungen an (u.a. Christoffel-Symbole, Krümmungstensor).

[Bearbeiten] Funktionentheorie

Seine geometrische Begründung der Funktionentheorie mit der Einführung Riemannscher Flächen, auf denen mehrdeutige Funktionen wie der Logarithmus (unendlich viele Blätter) oder die Wurzelfunktion (zwei Blätter) "eindeutig" werden, geschah in seiner Dissertation (die nach Dedekind schon Herbst 1847 in Berlin fertig war). Komplexe Funktionen sind "harmonische Funktionen" (das heisst sie erfüllen die Laplacegleichung bzw. äquivalent dazu die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen) auf diesen Flächen und werden durch die Lage ihrer Singularitäten und die Topologie dieser Flächen (Zahl der Schnitte u.a.) beschrieben. Das topologische "Geschlecht" der Riemannflächen wird durch g = w/2 - n + 1 gegeben, wobei in den w Verzweigungspunkten der Fläche n Blätter aneinandergeheftet sind. Für g > 1 hat die Riemannsche Fläche (3 g - 3) Parameter (die "Moduln").

Seine Beiträge zu diesem Gebiet sind zahlreich. Sein berühmter Riemannscher Abbildungssatz besagt, dass jedes einfach zusammenhängende Gebiet in der komplexen Zahlenebene C entweder zu ganz C oder dem Innern des Einheitskreises "biholomorph" äquivalent ist (das heisst es gibt eine analytische Abbildung, auch in umgekehrter Richtung). Die Verallgemeinerung des Satzes in Bezug auf Riemannsche Flächen ist das berühmte Uniformisierungstheorem, um das sich im 19.Jahrhundert u.a. Henri Poincare und Felix Klein bemühten (es besagt eine solche Äquivalenz zur Riemannschen Zahlenkugel, der komplexen Ebene C oder eben dem Innern des Einheitskreises). Auch hier sind strenge Beweise erst mit der Entwicklung ausreichender mathematischer Werkzeuge - in diesem Fall aus der Topologie- gegeben worden.

Für den Beweis der Existenz von Funktionen auf Riemannschen Flächen verwendete er ein Minimalbedingung, die er das Dirichlet-Prinzip nannte^[2]. Weierstraß wies sofort auf eine Lücke hin: Riemann hatte mit seiner "Arbeitshypothese" (für ihn war die Existenz des Minimums anschaulich klar) nicht beachtet, dass der zu Grunde liegende Funktionenraum nicht vollständig sein muss und deshalb die Existenz eines Minimums nicht gesichert war. Durch die Arbeiten von Hilbert in der Variationsrechnung wurde das Dirichlet-Prinzip um die Jahrhundertwende auf theoretisch sicheren Boden gestellt.

Weierstraß war im Übrigen von Riemann sehr beeindruckt, insbesondere von seiner Theorie Abelscher Funktionen. Als diese erschien, zog er sein eigenes Manuskript, dass schon bei Crelle lag, wieder zurück und publizierte es nicht mehr. Beide verstanden sich gut als Riemann ihn 1859 in Berlin besuchte. Weierstrass regte seinen Schüler Hermann Amandus Schwarz an, nach Alternativen zum Dirichletprinzip in der Begründung der Funktionentheorie zu suchen, worin dieser auch erfolgreich war.

Weitere Höhepunkte sind seine Arbeiten über Abelsche Funktionen und Thetafunktionen auf Riemannschen Flächen. Riemann war seit 1857 in einem Wettkampf mit Weierstrass um die Lösung des Jacobischen Umkehrproblems der Abelschen Integrale, einer Verallgemeinerung der elliptischen Integrale. Riemann benutzt Thetafunktionen in mehreren Variablen und reduziert das Problem auf die Bestimmung der Nullstellen dieser Thetafunktionen. Riemann untersuchte auch die Periodenmatrix (der g Abelschen Integrale 1.Gattung auf g Wegen, die sich aus "kanonischer Zerschneidung" der Fläche mit 2g Wegen ergeben) und charakterisierte sie durch die "Riemannschen Periodenrelationen" (symmetrisch, Realteil negativ). Die Gültigkeit dieser Relationen ist nach Frobenius und Lefschetz äquivalent mit der Einbettung von Cⁿ / Ω, (Ω = Gitter aus der Periodenmatrix) in einen projektiven Raum mittels Thetafunktionen. Für n=g ist das die auch von Riemann untersuchte Jacobi-Mannigfaltigkeit der Riemannfläche, ein Beispiel einer Abelschen Mannigfaltigkeit (Gitter).

Zahlreiche Mathematiker wie z.B. Alfred Clebsch führten die von Riemann angedachten Beziehungen zur Theorie algebraischer Kurven weiter aus. Diese Theorie lässt sich durch die Eigenschaften der auf einer Riemannschen Fläche definierbaren Funktionen ausdrücken. Beispielsweise macht der Satz von Riemann-Roch (Roch war ein Student Riemanns) Aussagen über die Anzahl der linear unabhängigen Differentiale (mit gewissen Vorgaben an deren Null- und Polstellen) auf einer Riemannschen Fläche.

Nach Laugwitz tauchen in einem Aufsatz über die Laplacegleichung auf elektrisch leitenden Zylindern erstmals automorphe Funktionen auf. Riemann benutzte allerdings solche Funktionen auch für konforme Abbildungen z.B. von Kreisbogendreiecken in den Kreis in seinen Vorlesungen über hypergeometrische Funktionen 1859 (von Schwarz wiederentdeckt) oder in der Abhandlung über Minimalflächen. Freudenthal sieht es als größten Fehler Riemanns, dass er nicht schon in seiner Einführung der Riemannflächen an den Schnitten Möbiustransformationen zulässt und so automorphe Funktionen einführt (was er in der Theorie der hypergeometrischen Differentialgleichung an den singulären Stellen tut). Übrigens kannte Riemann den Gauss Nachlass, in dem auch die Modulfigur auftaucht.

[Bearbeiten] Zahlentheorie

Seine Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe von 1859, seiner einzigen Arbeit zur Zahlentheorie, gilt mit einigen Arbeiten von Tschebyscheff und seines Lehrers Dirichlet als Gründungsschrift der analytischen Zahlentheorie. Darin machte er mit Hilfe der Funktionentheorie sehr weitgehende Aussagen über die Verteilung der Primzahlen. Hier findet sich vor allem auch die nach ihm benannte Riemannsche Vermutung über die Nullstellen der Zetafunktion, allerdings nur in einem Satz erwähnt (er habe den Beweis nach einigen flüchtigen Versuchen aufgegeben da er für den unmittelbaren Zweck der Abhandlung nicht nötig ist). Sie ist von tragender Bedeutung für die Zahlentheorie aber bis heute unbewiesen. Das auch hinter diesem kurzen Aufsatz weit umfangreichere Rechnungen Riemanns stecken, zeigte Siegel 1932 bei Untersuchung von Riemanns Nachlass in Göttingen.

In der Arbeit von Riemann sind noch viele weitere interessante Entwicklungen, beweist er die Funktionalgleichung der Zetafunktion (die schon Euler bekannt ist), hinter der eine solche der Thetafunktion steckt. Auch gibt er eine viel bessere Näherung für die Primzahlverteilung π(x) als die Gauss´sche Funktion Li(x). Durch Summation dieser Näherungsfunktion über die nichttrivialen Nullstellen auf der Geraden mit Realteil 1/2 gibt er sogar eine exakte "explizite Formel" für π(x).

Riemann kannte die Arbeiten von Tschebyscheff zum Primzahlsatz. Dieser hatte 1852 Dirichlet besucht. Seine Methoden sind aber gänzlich anders.

[Bearbeiten] Reelle Funktionen, Fourierreihen, Riemannintegral, Hypergeometrische Differentialgleichung

Auf dem Gebiet der reellen Funktionen entwickelte er das ebenfalls nach ihm benannten Riemann-Integral (in seiner Habilitation). Er bewies unter anderem, dass jede stückweise stetige Funktion integrierbar ist. Ebenso geht das Stieltjes-Integral auf den Göttinger Mathematiker zurück und wird deshalb mitunter auch als Riemann-Stieltjes-Integral bezeichnet.

In seiner Habilitationsarbeit über Fourierreihen, wo er ebenfalls den Spuren seines Lehrers Dirichlet folgt, bewies er, dass Riemann-integrable Funktionen durch Fourierreihen "darstellbar" sind. Dirichlet hatte dies für stetige, stückweise differenzierbare Funktionen (also mit abzählbar vielen Sprungstellen) bewiesen. Riemann gab als von Dirichlet nicht erfassten Fall das Beispiel einer stetigen, fast^[3] nirgends differenzierbaren Funktion, in Form einer Fourierreihe. Außerdem bewies er das Riemann-Lebesgue Lemma: falls eine Funktion durch eine Fourierreihe darstellbar ist gehen die Fourierkoeffizienten für grosse n gegen Null.

Riemanns Aufsatz war auch der Ausgangspunkt von Georg Cantors Beschäftigung mit Fourierreihen, woraus dann die Mengenlehre entstand.

Er behandelte auch die hypergeometrische Differentialgleichung 1857 mit funktionentheoretischen Methoden und kennzeichnet die Lösungen durch in der Monodromiematrix beschriebenes Verhalten auf geschlossenen Wegen um die Singularitäten herum. Der Beweis der Existenz einer solchen Differentialgleichung bei vorgegebener Monodromiematrix ist eines der Hilbert Probleme (Riemann-Hilbert Problem).

[Bearbeiten] Mathematische Physik, Naturphilosophie

Riemann interessierte sich auch stark für die mathematische Physik und Naturphilosophie unter dem Einfluss des Philosophen Johann Friedrich Herbart: er vertrat eine Art "Feldtheorie" der geistigen Phänomene ähnlich der elektrodynamischen in Analogie zum Gauss´schen Satz der Potentialtheorie. Herbart: "In jedem Augenblick tritt etwas Bleibendes in unsere Seele, um gleich wieder zu verschwinden." ^[4] Für Herbart, der im Rückgriff auf Hume eine mathematische Begründung der Psychologie suchte, war das Subjekt nur das veränderliche Produkt der Ideen. Riemanns Ideen zur Naturphilosophie aus seinem Nachlass sind in seinen Gesammelten Werken veröffentlicht.

Sein "Beitrag zur Elektrodynamik" von 1858, den er von der Publikation zurückzog, sollte Elektrodynamik vereinheitlichen: Coulombkräfte (Schwere, Elektrizität) aus Widerstand gegen Volumenänderung, "elektrodynamische" Kräfte wie Licht, Wärmestrahlung aus Widerstand gegen Längenänderung eines Linienelements (er geht von Amperes Gesetz der Wechselwirkung zweier Ströme aus). Statt der Poissongleichung für das Potential kommt er zu einer Wellengleichung mit konstanter Lichtgeschwindigkeit. Bei der Entwicklung seiner Ideen wurde er von Isaac Newtons 3.Brief an Bentley beeinflusst (zitiert in Brewsters "Life of Newton"). Rudolf Clausius fand in der posthum veröffentlichten Arbeit einen schweren Fehler.

Seine Verwendung des Dirichlet-Prinzips deutet schon auf Variationsmethoden hin, und Riemann hat auch eine Arbeit über Minimalflächen geschrieben. Nach Laugwitz ist sie von Hattendorff ungeschickt bearbeitet worden und nimmt viele Ideen von Hermann Amandus Schwarz vorweg.

In der mathematischen Physik arbeitete er beispielsweise über Wärmeleitungsprobleme, Potentialprobleme, hyperbolische Differentialgleichung (er fand 1860 eine neue Lösungsmethode für Differentialgleichungen, die Schockwellen beschreiben) und Figuren rotierender Flüssigkeiten. Auf letzterem Gebiet beantwortet er eine Frage Dirichlets und findet neue Figuren neben den schon bekannten von Dedekind, Dirichlet, MacLaurin. Außerdem wird ihre Stabilität betrachtet (Ljapunoff vorwegnehmend). Hattendorf hat seine Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen der mathematischen Physik nach seinem Tod herausgegeben. Später wurde daraus in der Bearbeitung von Heinrich Weber ein damals bekanntes Lehrbuch. Noch kurz vor seinem Tod arbeitete er an einer Theorie des menschlichen Ohrs.

[Bearbeiten] Wirkung und Würdigung

Riemanns Freund Richard Dedekind hat seine Werke nach seinem Tod 1892 in zweiter Auflage^[5] herausgegeben (und mit einer Biographie versehen), darunter auch viel nicht publiziertes Material (weitere Arbeiten sollen seine Verwandten kurz nach seinem Tod aus Unkenntnis verbrannt haben). Die Popularisierung seiner Funktionentheorie, die damals in Konkurrenz zu der "Potenzreihen"- Funktionentheorie a la Cauchy, Weierstrass stand, erfolgte vor allem durch Felix Klein in seinen Vorlesungen in Leipzig und Göttingen, wobei dieser sich nicht scheute physikalische Analogien zu betonen. Auch Carl Neumann trug in verschiedenen Büchern zur Verbreitung von Riemanns Ideen bei. Deshalb hatte Riemanns Funktionentheorie von Anfang an bei Physikern wie Hermann Helmholtz^[6] Erfolg, während sie bei den Mathematikern dank Weierstrass´Kritik am Dirichletprinzip lange suspekt war.

Insbesondere fielen Riemanns Ideen in Italien, in dessen gerade gegründetem Nationalstaat ein grosser Hunger nach neuen Ideen bestand, auf fruchtbaren Boden (Differentialgeometrie, Algebraische Geometrie u.a.). Es bestanden auch persönliche Beziehungen von Riemann, der sich zur Wiederherstellung seiner Gesundheit gern in Italien aufhielt, zu italienischen Mathematikern wie Enrico Betti und Eugenio Beltrami, und diese versuchten ihn sogar ganz nach Italien auf einen Lehrstuhl in Pisa zu ziehen. Seine Krankheit und sein Tod verhinderte dies.

Zu seinen unmittelbaren deutschen Schülern zählen Friedrich Schottky, Gustav Roch (der im selben Jahr wie Riemann und ebenfalls an Tuberkulose starb), Friedrich Prym, der wie Roch 1861 bei Riemann hört und seine Methoden gleich in seiner Dissertation 1862 bei Kummer anwendet.

Typisch für Riemann war ein konzeptionelles, viele Bereiche verbindendes Denken, er war aber auch "technisch" sehr stark. Wie sein Vorbild Dirichlet vermied er aber nach Möglichkeit Rechnungen. Mit ihm beginnt die Topologie eine zentrale Rolle in der Mathematik zu spielen.

[Bearbeiten] Werke

• Narasimhan Hrsg. Riemanns Gesammelte Werke, Teubner/Springer 1990 (mit dem Nachruf von Schering, der auch in dessen Gesammelten Werken Bd.2 abgedruckt ist), oder englischer reprint der 2.Auflage von 1892, dover
• Stahl (Hrsg.) Riemanns Vorlesungen über elliptische Funktionen, Teubner 1899
• Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe in Monatsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Berlin, November 1859, Seite 671 ff. Hier findet sich die Riemannsche Vermutung. Digitale Ausgabe
• Vorlesungen über „Partielle Differentialgleichungen“ (3. Aufl., Braunschweig 1882) und
• „Schwere, Elektrizität und Magnetismus“. Hannover, 1876, Hrsg. Hattendorff.
• "Partielle Differentialgleichungen und deren Anwendung auf physikalische Fragen" mit Karl Hattendorff, Braunschweig 1869
• The Mathematical Papers of Georg Friedrich Bernhard Riemann, auch in [1]
• "Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe", Abh.Kgl.Ges.Wiss., Göttingen 1868
• "Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite", Abh.Kgl.Ges.Wiss., Göttingen 1860, seine spezielle "Schockwelle"
• "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen", Abh.Kgl.Ges.Wiss., Göttingen 1868
• "Beiträge zur Theorie der durch die Gausssche Reihe F(α,β,γ,x) darstellbaren Funktionen", Abh.Kgl. Ges. Wiss. Göttingen 1857
• "Über das Verschwinden der Thetafunktionen", Crelles Journal 1866
• "Bestimmung der Funktion einer veränderlichen komplexen Grösse durch Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen", Crelles Journal 1857
• "Theorie der Abelschen Funktionen", Crelles Journal 1857
• "Über die Fläche kleinsten Inhalts bei gegebener Begrenzung", Abh.Kgl.Ges.Wis. Göttingen, 1868
• "Ein Beitrag zur Untersuchung über die Bewegungen eines gleichartigen flüssigen Ellipsoids", Abh.Ges.Wiss. Göttingen 1861

[Bearbeiten] Literatur

• Detlef Laugwitz Bernhard Riemann 1826-1866, Basel, Birkhäuser, 1995
• Felix Klein Geschichte der Entwicklung der Mathematik im 19.Jahrhundert, Springer Verlag, online hier:[2]
• Eric Bell Men of mathematics 1937 (deutsch Econ Verlag)
• Dedekind, Biographie in den Gesammelten Werken Riemanns, online Ausgabe siehe unten.
• Schering, Nachruf, in dessen Gesammelten Werken Bd.2
• Hans Freudenthal, Artikel Riemann in Dictionary of Scientific Biography
• Andre Weil: Riemann, Betti and the birth of topology, Archive History of exact sciences, Bd.20, 1979, S.91 und Bd.21, 1980, S.387 (u.a. Brief Bettis, in dem er eine Äußerung Riemanns wiedergibt, er hätte die Idee für seine Schnitte aus einer Unterredung mit Gauss)
• Bottazzini Archive History Exact Sciences Bd.18, 1977, 27 (zu Riemann und Betti)
• ders., International Congress of Mathematicians 2002, zur Riemann und Weierstrass
• Carl Ludwig Siegel: Vorlesungen über Funktionentheorie, Bd.1,2 (Erläuterung von Riemanns Arbeiten), erhältlich hier:[[3]
• ders. Über Riemanns Nachlass zur analytischen Zahlentheorie, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik 1932
• Neuenschwander Riemann und das Weierstrass Prinzip der Fortsetzbarkeit von Potenzreihen, Jahresbericht DMV 1980
• Scharlau Dedekind 1981 (Briefwechsel, dort auch zu Riemann einiges, was er in seiner Biographie in den Gesammelten Werken verschwieg)
• Hermann Weyl Riemanns "Hypothesen welche der Geometrie zugrunde liegen" (mit Kommentar von Weyl)

[Bearbeiten] Siehe auch

• der Riemannsche Abbildungssatz
  • die Riemannsche Fläche
  • die Riemannsche Geometrie
  • der Riemannsche Hebbarkeitssatz
  • das Riemann-Integral
  • das Riemann-Stieltjes-Integral
  • der Riemannsche Krümmungstensor
  • das Riemann-Problem
  • der Riemannsche Raum
  • der Riemannsche Umordnungssatz
  • die Riemannsche Vermutung
  • die Riemannsche Zetafunktion
  • die Riemannsche Zahlenkugel

[Bearbeiten] Weblinks

• Literatur von und über Bernhard Riemann im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
• Riemann Biographie von Dörte Haftendorn, Uni Lüneburg
• Riemann Biographie McTutor
• Biographie Dedekinds
• Analysis and Synthesis - On Scientific Method based on a Study by Bernhard Riemann From the Swedish Morphological Society
• Homepage des Bernhard-Riemann-Gymnasiums
• A.Speiser "Naturphilosophische Untersuchungen von Riemann und Euler", Crelles Journal 1927
• Felix Klein "Riemann und seine Bedeutung für die Entwicklung der Mathematik", Jahresbericht DMV 1894/5
• Brill, Noether Geschichte der Theorie der algebraischen Funktionen, Jb DMV 1894, Abschnitt Riemann

Neuenschwanders Ausgabe von Riemanns Briefen an seine Familie findet sich hier: [4]

[Bearbeiten] Quellen und Fussnoten

1. ↑ Sie wird erst weiter bekannt durch die Veröffentlichung in den Nachrichten der Göttinger Akad.Wiss.1868 durch Dedekind
2. ↑ Verschwinden des Integrals (über die Fläche) der Quadrate der Gradienten der Funktionen, also quasi der "Energie". Partielle Integration in diesem Integral liefert die Laplacegleichung.
3. ↑ "fast" ist ein technischer Ausdruck für "bis auf abzählbar unendlich viele Stellen"
4. ↑ zitiert nach der Riemann Biographie von Laugwitz
5. ↑ 1.Auflage 1876 durch Heinrich Weber
6. ↑ z.B. eine Begebenheit, die Arnold Sommerfeld in seinen Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen wiedergibt: ein älterer Mathematiker klagt über die Schwierigkeit Riemann zu verstehen, Helmholtz leiht sich die Arbeiten und findet sie völlig einleuchtend. Er wendet sie auch schon 1868 in einer Arbeit über Flüssigkeitsbewegung (konforme Abbildungen) an, und schreibt 1868 an Riemann anknüpfend eine Arbeit über das später so genannte "Riemann-Helmholtz Raumproblem".

Personendaten
NAME	Riemann, Bernhard
ALTERNATIVNAMEN	Riemann, Georg Friedrich Bernhard
KURZBESCHREIBUNG	Mathematiker
GEBURTSDATUM	17. September 1826
GEBURTSORT	Breselenz bei Dannenberg (Elbe)
STERBEDATUM	20. Juli 1866
STERBEORT	Selasca am Lago Maggiore