פונקציה עולה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באנליזה מתמטית, פונקציה ממשית $\ f$ היא פונקציה עולה בקטע נתון, אם לכל $\ x<y$ בקטע מתקיים $\ f(x)<f(y)$ . בדומה, פונקציה יורדת היא כזו המקיימת $\ f(x)>f(y)$ לכל $\ x<y$ . אחת השאלות החשובות בחקירה של פונקציה ממשית היא איתור התחומים שבהם היא עולה או יורדת.

פונקציות כאלה שכיחות בכל תחומי המדע: הקצב של ריאקציה כימית הוא פונקציה עולה של החום; תאוצת הנפילה של גוף היא פונקציה יורדת של המרחק מן הגוף אליו הוא נופל; ההיצע הוא פונקציה עולה של המחיר; כמות הנפט בכדור הארץ היא פונקציה יורדת של הזמן; וכו'.

במתמטיקה, פונקציות עולות ופונקציות יורדות הן סוגים מיוחדים של פונקציות מונוטוניות, ביחס לסדר הטבעי בישר הממשי.

[עריכה] הגדרות נוספות

למונח "פונקציה עולה" יש, בהקשרים שונים, שני פירושים קרובים. אם $\ f(x)<f(y)$ לכל $\ x<y$ , אז הפונקציה עולה במובן החזק; אם מתקיים היחס החלש יותר $\ f(x) \leq f(y)$ , אז הפונקציה עולה במובן החלש. באופן דומה מגדירים ירידה במובן החזק ובמובן החלש. פונקציה קבועה $\ f(x)=c$ היא הפונקציה היחידה העולה ויורדת, במובן החלש, באותו קטע.

עליה או ירידה אינם מושג נקודתי, משום שאת הערך בנקודה יחידה אין למה להשוות. עם זאת, אומרים שהפונקציה עולה בנקודה x אם קיים קטע המכיל את x, שבו הפונקציה עולה; וכן לפונקציה יורדת.

[עריכה] דוגמאות

הפונקציה $\ f(x)=x$ עולה (במובן החזק) בכל הישר הממשי.
הפונקציה $\ f(x)=-x$ יורדת בכל הישר.
הפונקציה $\ f(x)=x^2$ עולה בקרן $\ [0,\infty)$ , ויורדת בקרן $\ (-\infty,0]$ .
פונקציית דיריכלה, המקבלת 1 בערכים רציונליים ו-0 בערכים אי רציונליים, אינה מונוטונית באף קטע.

[עריכה] מונוטוניות ורציפות

אוסף נקודות אי הרציפות של פונקציה מונוטונית הן כולן "נקודות מסוג ראשון". קבוצות נקודות אי-הרציפות היא בת מניה, הגם שאינה חייבת להיות סופית, אפילו כאשר הפונקציה חסומה, כפי שמראה הדוגמה הפתולוגית הבאה:

אם נסדר את המספרים הרציונליים בסדרה $\ a_1,a_2,\dots$ ונגדיר $\ f(x)=\sum_{a_n<x}2^{-n}$ , אז הפונקציה $\,f$ עולה וחסומה, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית.

מתכונות אלה של נקודות אי-הרציפות נובע שכל פונקציה מונוטונית המוגדרת בקטע סגור, היא אינטגרבילית לפי לבג.

לפונקציה מונוטונית במובן החזק, ורציפה, יש פונקציה הפכית שגם היא מונוטונית ורציפה.

[עריכה] מונוטוניות ונגזרות

אם פונקציה f עולה במובן החלש בנקודה x, והיא גזירה שם, אז הנגזרת שלה מקיימת $\ f'(x)\geq 0$ . מאידך, אם הפונקציה גזירה ו- $\ f(x)>0$ , אז היא עולה, במובן החזק, בנקודה x:

$\ \Longrightarrow f(x)\geq 0$ עולה במובן החלש ב-x $\Longrightarrow$ עולה במובן החזק ב-x $\ f'(x)>0 \Longrightarrow$ .

מבחינת ההתנהגות הנקודתית, העובדה ש- $\ f'(x)\geq 0$ אינה מספיקה אפילו לעליה במובן החלש, כמו שמראה למשל הפונקציה $\ f(x)=x^2$ בנקודה x=0. באופן דומה, אפילו אם הפונקציה עולה במובן החזק, זה אינו מבטיח שהנגזרת תהיה חיובית ממש, כפי שמדגימה הפונקציה $\ f(x)=x^3$ .

כאשר מדובר בקטע פתוח, אם הפונקציה גזירה בכל הקטע והנגזרת שלה אי-שלילית, אז היא עולה שם במובן החלש. כך מתקבלים הקשרים

$\ \Longleftrightarrow f\geq 0$ עולה במובן החלש $\Longrightarrow$ עולה במובן החזק $\ f'>0 \Longrightarrow$ .

במסגרת מחקריו בתורת המידה, הוכיח אנרי לבג שפונקציה מונוטונית היא גזירה כמעט בכל מקום.

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה